Производственная функция

  (t=0,1,…,Т).

      Эта ПФ – простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть нематериализованный в одном из факторов технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу: Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) или Y(t)=f(A(t)×K(t), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП. Коэффициент А в производственной функции НТП получил название «нейтрального по Хиксу, Солоу и Харроду³.

      Приведем  вариант ПФКД с учетом НТП

.

Расчет  численных значений параметров такой функции проводится с помощью корреляционного и регрессионного анализа.

      Выбор аналитической формы ПФ диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами или экономических закономерностей. Оценка параметров ПФ обычно проводится методом наименьших квадратов. 
 
 

2.   Свойства и основные  характеристики производственных  функций

   Для производства конкретного продукта требуется сочетание разнообразных  факторов. Несмотря на это, различные производственные функции обладают рядом общих свойств.

   Для определенности ограничимся производственными  функциями двух переменных . Такая производственная функция определена в неотрицательном ортанте двумерной плоскости, то есть при . ПФ удовлетворяет следующему ряду свойств:

1. без ресурсов нет выпуска, т.е. f(0,0,a)=0;
2. при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска, т.е. ;
3. с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;
4. с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет, т.е. если x>0, то ;
5. с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), т.е. если то ;
6. при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, т.е. если x>0, то ;
7. ПФ является однородной функцией, т.е. ; при р>1 имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства; при р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.

      Подобно линии уровня целевой функции  оптимизационной задачи, для ПФ также  имеет место аналогичное понятие. Линия уровня ПФ – это множество точек, на котором ПФ принимает постоянное значение. Иногда линии уровня называют изоквантами ПФ. Возрастание одного фактора и уменьшение другого могут происходить таким образом, что общий объем производства остается на прежнем уровне. Изокванты как раз и определяют все возможные комбинации факторов производства, необходимых для достижения заданного уровня продукции.

      

      Рис. 2.

      Из  рисунка 2 видно, что вдоль изокванты  выпуск продукции постоянный, то есть прирост выпуска отсутствует. Математически  это означает, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю:

      

.

      Изокванты обладают следующими свойствами:

1. Изокванты не пересекаются.
2. Большей удаленности изокванты от начала координат соответствует больший уровень выпускаемой продукции.
3. Изокванты - понижающиеся кривые, имеют отрицательный наклон.

      Изокванты являются подобием кривых безразличия  с той лишь разницей, что они  отражают ситуацию не в сфере потребления, а в сфере производства.

      Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что  увеличение использования одного фактора при определенном объеме выпуска продукта всегда будет сопровождаться уменьшением количества другого фактора. Крутизна наклона изокванты характеризуется предельной нормой технологического замещения факторов производства (MRTS). Рассмотрим эту величину на примере двухфакторной производственной функции Q(y,x). Предельная норма технологического замещения измеряется соотношением изменения фактора y к изменению фактора х. Поскольку замена факторов происходит в обратном отношении, то математическое выражение показателя MRTS берется со знаком минус:

      

.

      На  рисунке 3 изображена одна из изоквант ПФ Q(y,x).

      Рис. 3.

      Если  взять какую-либо точку на этой изокванте, например, точку А и провести к  ней касательную КМ, то тангенс  угла даст нам значение MRTS:

      

.

      Можно отметить, что в верхней части  изокванты угол будет достаточно велик, что говорит о том, что  для изменения фактора х на единицу требуются значительные изменения фактора y. Следовательно, в этой части кривой значение MRTS будет велико. По мере движения вниз по изокванте значение предельной нормы технологического замещения будет постепенно убывать. Это означает, что для увеличения фактора х на единицу потребуется незначительное уменьшение фактора y. При полной заменяемости факторов изокванты из кривых преобразуются в прямые (рис.4).

      Рис. 4.

      Характеристики  производственных функций.

Рассмотрим  их на примере ПФ вида .

      Как уже было отмечено выше, отношение  (i=1,2) называется средней производительностью i-го ресурса или средним выпуском по i-му ресурсу. Первая частная производная ПФ (i=1,2) называется предельной производительностью i-го ресурса или предельным выпуском по i-му ресурсу. Эту предельную величину иногда интерпретируют, используя близкое к ней отношение малых конечных величин . Приближенно она показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска y, если объем затрат i-го ресурса возрастет на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

      Например, в ПФКД для средних производительностей  основного капитала у/К и труда  у/L используются соответственно термины капиталоотдача и производительность труда:

.

      Определим для этой функции предельные производительности факторов:

и 

.

      Таким образом, если , то (i=1,2), то есть предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса. Отношение предельной производительности i-го фактора к его средней производительности называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства

или приближенно

.

      Таким образом, эластичность выпуска (объема производства) по некоторому фактору (коэффициент  эластичности) приближенно определяется как отношение темпов прироста у  к темпам прироста этого фактора, то есть показывает на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

      Сумма

+ =Е называется эластичностью производства. Например, для ПФКД = , = и Е= + = + .

Заключение

Из данной работы можно сделать основные  выводы:

1. Факторами производства называются блага, необходимые для организации процесса производства.
2. Производственной функцией называется зависимость между максимальным объемом производимого продукта и затратами используемых факторов.
3. В производственной функции с одним переменным фактором величина общего продукта, начиная с определенного объема данного переменного фактора, убывает.
4. Изокванта показывает максимальную величину продукта, которую можно получить при различных комбинациях переменных факторов.
5. При возрастании объемов производства возникает три варианта эффекта масштаба производства: постоянная, возрастающая и убывающая отдача от масштаба.
6. Отношение предельной производительности i-го фактора к его средней производительности называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 2001.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Изд. «ДИС», 1997.
3. Курс экономической теории: учебник. – Киров: «АСА», 1999.
4. Микроэкономика/ Под ред. Проф. Яковлевой Е.Б. – М.: СПб. Поиск, 2002.
5. Мировая экономика. Варианты аудиторных работ для преподавателей. – М.: ВЗФЭИ, 2001.
6. Овчинников Г.П.. Микроэкономика. – Санкт-Петербург: Изд-во им. Володарского, 1997.
7. Политическая экономия; экономическая энциклопедия. – М.: Изд. «Сов. Энциклопедия», 1979.
8. В.В.Киселева «Плановые расчеты по моделям экономического роста» - М.-«Экономика», 1971.
9. Барлаков Н.Б. «Производственные функции в моделях экономического роста». М.: Издательство МГУ, 1981.
10. Чечевицына Л.Н. Микроэкономика. Экономика предприятия (фирмы) – Рост Н/Д: «Феникс», 2003.
11. Экономическая теория: Учебник для вузов / Под ред. Нико-лаевой И.П. – М.: Финанстатинформ, 2002.
12. 5. Ивашковский С.Н.. Микроэкономика: Учебник – 2-е изд., испр. и доп. – Н.: ДЕЛО, 2001.