Ответы по эконометрике

   Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результат у

Любая сумма  квадратов отклонений связана с числом степеней свободы , т. е. с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n ис числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из п возможных  требуется для образования данной суммы квадратов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

№8. ПРИМЕНЕНИЕ МНК К  МОДЕЛЯМ НЕЛИНЕЙНЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ВКЛЮЧАЕМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ОЦЕНИВАЕМЫХ  ПАРАМЕТРОВ.

  Нелинейная  регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени y=a₀+a₁x+a₂x²+ε заменяя переменные x=x₁,x²=x₂, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии: у=а₀+а₁х₁+а₂х₂+ ε

   Парабола  второй степени целесообразна к  применению, если для определенного  интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное), значение результативного признака: приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени: , т.е. b+2cx=0 и x=-b/2c

  Применение  МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

 Решение ее возможно методом  определителей:

   
В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразованным уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия min, то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т. е.ln y, 1/y. Так, в степенной функции МНК применяется к преобразованному уравнению lny = lnα + β ln x ln ε. Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах. Соответственно если в линейных моделях то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, . Вследствие этого оценка параметров оказываются несколько смещенной. 

№9. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭЛАСТИЧНОСТИ ПО РАЗНЫМ ВИДАМ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ.

1. Линейная y = a + bx + , y′ = b, Э = .
2. Парабола 2 порядка y = a +bx + c + , y′ = b + 2cx, Э = .
3. Гипербола y = a+b/x + , y′=-b/ , Э = .
4. Показательная y=a , y′ = ln , Э = x ln b.
5. Степенная y = a , y′ = , Э = b.
6. Полулогарифмическая y = a + b ln x +ε , y′ = b/x , Э = .
7. Логистическая , y′ = , Э = .
8. Обратная y = , y′ = , Э = .

№ 10  ПОКАЗАТЕЛИ КОРРЕЛЯЦИИ

1. индекс корреляции (R):

Величина  данного показателя находится в  границах: 0 ≤ R ≤ 1, чем ближе к 1, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

2. индекс детерминации используется для проверки существенности в целом ур-ия нелинейной регрессии по F- критерию Фишера:

, где R²- индекс детерминации, n- число наблюдений, m – число параметров при переменной х. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

№11. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ. СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ. ОТБОР ФАКТОРОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИИ МОДЕЛИ.

Регрессия может дать хороший результат  при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Поведение отдельных экономических переменных контролировать нельзя, т. е. не удается обеспечить равенство всех прочих условий для оценки влияния одного исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т. е. построить уравнение множественной регрессии: y=a+b₁x₁+b₂+…+b_px_p+e; Такого рода уравнение может использоваться при изучении потребления. Тогда коэффициенты bj — частные производные потребления у по соответствующим факторам x_i: , в предположении, что все остальные х_i постоянны. В 30-е гг. XX в. Кейнс сформулировал свою гипотезу потребительской функции. С того времени исследователи неоднократно обращались к проблеме ее совершенствования. Современная потребительская функция чаще всего рассматривается как модель вида: C=j(y,P,M,Z), где   С — потребление; у  — доход; Р —  цена, индекс стоимости жизни; М — наличные деньги; Z — ликвидные активы. При этом .. Основная цель множественной регрессии — построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель. Спецификация модели включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии. Требования к факторам.1 Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов) 2.Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи. Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, когда R_yx1 R_x1x2.Для зависимости y=a+b₁x₁+b₂+…+b_px_p+e может привести к нежелательным последствиям, повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии. Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются не интерпретированными.

Включаемые  во множественную регрессию факторы  должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором р-факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации R² , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии р-факторов. Влияние других не учтенных в модели факторов оценивается как 1 - R² с соответствующей остаточной дисперсией S².При дополнительном включении в регрессию (р + 1) фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться: . Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по t-критерию Стьюдента.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная  модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа, который обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе показателей корреляции определяют t-статистики для параметров регрессии. Коэффициенты интеркорреляции (т. е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменных явно коллинеарны, т. е. находятся между собой в линейной зависимости, если . Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью. Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой, и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в силу следующих последствий:1.затрудняется интерпретация параметров множественной  регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;2оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений. Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Если  бы факторы не коррелировали между  собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей. Для включающего три объясняющих переменных уравнения: y=a+b₁x₁+b₂+b₃x₃+e.Матрица коэф-в корреляции м/у факторами имела бы определитель равный 1. Det =1, т.к. r_x1x1=r_x2x2=1 и r_x1x2=r_x1x3=r_x2x3=0. Если м/у факторами сущ-ет полная линейная зависимость и все коэф-ты корреляции =1, то определитель такой матрицы =0. Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов. 

№12. ЧТО ОЗНОЧАЕТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФАКТОРОВ И КАК  ОНО МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО ГРАФИЧЕСКИ?

Одним из путей учета внутренней корреляции факторов является переход к совмещенным уравнениям регрессии, т. е. к уравнениям, которые отражают не только влияние факторов, но и их взаимодействие. Так, если y=f(x1,x2,x3), то возможно построение следующего совмещенного уравнения: y=a+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₁₂x₁x₂+b₁₃x₁x₃+b₂₃x₂x₃+e.Рассматриваемое уравнение включает взаимодействие первого порядка (взаимодействие двух факторов). Возможно включение в модель и взаимодействий более высокого порядка, если будет доказана их статистическая значимость по F-критерию Фишера. Если анализ совмещенного уравнения показал значимость только взаимодействия факторов х₁ и х₃,то уравнение будет иметь вид: y=a+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₁₃x₁x₃+e.Взаимодействие факторов х₁ и х₃ означает, что на разных уровнях фактора х₃ влияние фактора х₁ на у будет неодинаково, т. е. оно зависит от значений фактора х₃. На рис. взаимодействие факторов представляется непараллельными линиями связи с результатом у. И, наоборот, параллельные линии влияния фактора x₁ на у при разных уровнях фактора х₃ означают отсутствие взаимодействия факторов х₁ и х₃. Графики:

  а— х₁ влияет на у, причем это влияние одинаково как при х₃=В₁, так и при х₃=В₂ (одинаковый наклон линий регрессии), что означает отсутствие взаимодействия факторов х₁ и х₃; б — с ростом х₁ результативный признак y возрастает при х₃ = В₁; с ростом х₁ результативный признак у снижается при х₃ = В₂.. Между х₁ и х₃ существует взаимодей-вие. Совмещенные уравнения регрессии строятся, например, при исследовании эффекта влияния на урожайность разных видов удобрений.Решению проблемы устранения мультиколлинеарности факторов может помочь и переход к уравнениям приведенной формы. С этой целью в уравнение регрессии производится подстановка рассматриваемого фактора через выражение его из другого уравнения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

№13. ИНТЕРПРИТАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ  РЕГРЕССИИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ПОТРЕБЛЕНИЯ. СМЫСЛ СУММЫ  b_i В ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ И ЗНАЧЕНИЕ СУММЫ b_i>1 . КОЭФФИЦИЕНТЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ ОЦЕНКИ СРАВНИТЕЛЬНОЙ СИЛЫ ВОЗДЕЙСТВИЯ ФАКТОРОВ НА РЕЗУЛЬТАТ.

Функция потребления: С=К*у+L, где С-потребление, у-доход, К и L-параметры функции.(у=С+I, I-размер инвистиций). Предположим, что функция потребления составила :С= 1,9 + 0,65 *у .Коэффициент регрессии характеризует склонность к потреблению. Он показывает, что из каждой тысячи дохода на потребление расходуется в среднем 650 руб., а 350 руб. инвестируются. В производственных функциях:

где Р - количество продукта, изготавливаемого с помощью т производственных факторов (F₁, F₂,..., F_m);b-параметр, являющийся эластичностью количества продукции по отношению к количеству соответствующих производственных факторов.

Экономический смысл имеют не только коэффициенты b каждого фактора, но и их сумма, т. е. сумма эластичностей: В=b₁+ b₂ +...+ Ь_т. Эта величина фиксирует обобщенную характеристику эластичности производства.

При практических расчетах не всегда .Она может быть как больше, так и меньше единицы. В  этом случае величина В фиксирует приближенную оценку эластичности выпуска с ростом каждого фактора производства на 1 % в условиях увеличивающейся (В > 1) или уменьшающейся (В < 1) отдачи на масштаб. Так, если Р = 2,4* F * F₂^0,7 * F₃^0,2, то с ростом значений каждого фактора производства на 1 % выпуск продукции в целом возрастает приблизительно на 1,2 %. 

№14. НАЗНАЧЕНИЕ ЧАСТНОЙ  КОРРЕЛЯЦИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ.  Ранжирование факторов, участвующих во множественной линейной регрессии, может быть проведено через стандартизованные коэффициенты регрессии, с помощью частных коэффициентов корреляции — для линейных связей. При нелинейной взаимосвязи исследуемых признаков эту функцию выполняют частные индексы детерминации. Кроме того, частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включения того или иного фактора в модель доказывается величиной показателя частной корреляции.

Частные коэффициенты (или  индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.