Ответы по эконометрике

Шпоры по эконометрике.

№ 1. СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ

Простая регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными —у и х, т.е. модель вида , где у — результативный признак; х - признак-фактор.

Множественная регрессия представляет собой регрессию результативного признака с двумя и большим числом факторов, т. е. модель вида   

Спецификация модели - формулировка вида модели, исходя из соответствующей теории связи между переменными. В уравнении регрессии корреляционная по сути связь признаков представляется в виде функциональной связи, выраженной соответствующей математической функцией. где  y_j —   фактическое значение результативного признака;

y_xj -теоретическое значение результативного признака.

 — случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического.

Случайная величина ε называется также возмущением. Она включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения.

 От правильно выбранной спецификации модели зависит величина случайных ошибок: они тем меньше, чем в большей мере теоретические значения результативного признака подходят к фактическим данным у.

К ошибкам  спецификации относятся неправильный выбор той или иной математической функции для , и недоучет в уравнении регрессии какого-либо существенного фактора, т. е. использование парной регрессии вместо множественной.

Ошибки выборки - исследователь чаще всего имеет дело с выборочными данными при установлении закономерной связи между признаками.

Ошибки  измерения практически сводят на нет все усилия по количественной оценке связи между признаками. Основное внимание в эконометрических исследованиях уделяется ошибкам спецификации модели.

В парной регрессии выбор вида математической функции  может быть осуществлен тремя методами: графическим, аналитическим и экспериментальным.

Графический метод основан на поле корреляции. Аналитический метод основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков.

Экспериментальный метод осуществляется путем сравнения величины остаточной дисперсии D_ост, рассчитанной при разных моделях. Если фактические значения результативного признака совпадают с теоретическими у = , то D_ocm =0. Если имеют место отклонения фактических данных от теоретических (у — ) то .

 Чем  меньше величина остаточной дисперсии, тем лучше уравнение регрессии подходит к исходным данным. Число наблюдений должно в 6 — 7 раз превышать число рассчитываемых параметров при переменной х. 

№ 2 ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ  И КОРРЕЛЯЦИЯ: СМЫСЛ И ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ.

Линейная регрессия  сводится к нахождению уравнения вида или .

Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора х.

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров а и в.

Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены  разными методами.

1.

2.

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

Формально а — значение у при х = 0. Если признак-фактор 
не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная 
трактовка свободного члена, а не имеет смысла. Параметр, а может 
не иметь экономического содержания. Попытки экономически 
интерпретировать параметр, а могут привести к абсурду, особенно при а < 0. 

Интерпретировать  можно лишь знак при параметре  а. Если а > 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем  тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r_xy. Существуют разные модификации формулы линейного коэффициента корреляции.

Линейный  коэффициент корреляции находится и границах: -1≤.r_xy ≤ 1. При этом чем ближе r к 0 тем слабее корреляция и наоборот чем ближе r к 1 или -1, тем сильнее корреляция, т.е. зависимость х и у близка к линейной. Если r в точности =1или -1 все точки лежат на одной прямой. Если коэф. регрессии b>0 то 0 ≤.r_xy ≤ 1 и наоборот при b<0  -1≤.r_xy ≤0.  Коэф. корреляции отражает степени линейной зависимости м/у величинами при наличии ярко выраженной зависимости др. вида.

Для оценки качества подбора линейной функции  рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией. Соответствующая величина характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов. 
 
 
 
 
 
 
 

№ 3. МНК.

МНК позволяет  получить такие оценки параметров а и b, которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (у) от расчетных (теоретических) минимальна:

 Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной. Решается система нормальных уравнений

 

№ 4.  ОЦЕНКА СУЩЕСТВЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ И КОРРЕЛЯЦИИ.

Оценка  значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т. е. b = 0, и следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у.

Непосредственному   расчету    F-критерия    предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от средне го значения у на две части - «объясненную» и «необъясненную»:

- общая сумма квадратов отклонений

- сумма квадратов отклонения  объясненная регрессией  - остаточная сумма квадратов отклонения.

Любая сумма квадратов отклонений связана  с числом степеней свободы, т. е. с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности  nис числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число cтепеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из п возможных требуется для образования данной суммы квадратов.

Дисперсия на одну степень свободы D.

           

F-отношения (F-критерий):                  

Ecли нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для Н₀ необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия — это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признается достоверным, если о больше табличного. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи: F_факт > F_табл Н₀ отклоняется.

Если  же величина окажется меньше табличной F_факт ‹, F_табл , то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня и она не может быть отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым. Н_о   не отклоняется.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии 

Для оценки существенности коэффициента регрессии  его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т. е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдентa: которое

затем сравнивается с табличным значением  при определенном уровне значимости и числе степеней свободы (n- 2).

Стандартная ошибка параметра а:

        

Значимость  линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции т_r:

                              

Общая дисперсия признака х: 

Коэф. регрессии  Его величина показывает ср. изменение результата с изменением фактора на 1 ед.

Ошибка аппроксимации:  
 
 

№ 5. ИНТЕРВАЛЫ ПРОГНОЗА ПО ЛИНЕЙНОМУ УРАВНЕНИЮ

РЕГРЕССИИ

Оценка  стат. значимости параметров регрессии проводится с помощью t – статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала для каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н₀ о статистически значимом отличие показателей от 0  a = b = r = 0. Рассчитываются стандартные ошибки параметров a,b, r и фактич. знач. t – критерия Стьюдента.

   

   

                           

Определяется  стат. значимость параметров.

t_a ›T_табл     - a стат. значим

t_b ›T_табл     - b стат. значим

Находятся границы доверительных интервалов.

                                 Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что параметры a и b находясь в указанных границах не принимают нулевых значений, т.е. не явл.. стат. незначимыми и существенно отличается от 0. 

№ 6. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ. ВИДЫ МОДЕЛЕЙ

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы ,   параболы второй степени и д.р.

Различают два класса нелинейных регрессий:

• регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

• регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. 
Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

• полиномы разных степеней
• равносторонняя гипербола

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

• степенная
• показательная
• экспоненциальная

 

№ 7. СМЫСЛ КОЭФФИЦИЕНТА РЕГРЕССИИ.

  Параметр  b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Оценку коэффициента регрессии можно получить не обращаясь к методу наименьших квадратов. Альтернативную оценку параметра b можно найти исходя из содержания данного коэффициента: изменение результата сопоставляют с изменением фактора

  Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака у от среднего значения вызвана влиянием множества причин. Условно разделим всю совокупность причин на две группы: изучаемый фактор х и прочие факторы.

Если фактор не оказывает влияния на результат, то линия регрессии на графике параллельна оси ох и .Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадет с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат, то у связан с х функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.

  Поскольку не все точки поля корреляции лежат  на линии регрессии, то всегда имеет  место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, т. е. регрессией у по х, так и вызванный действием прочих причин (необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариацию