Основы регрессионного анализа

       2 ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО  АНАЛИЗА 

     Для решения задач экономического анализа  и прогнозирования очень часто используются статистические, отчетные или наблюдаемые данные. При этом полагают, что эти данные являются значениями случайной величины. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от случая принимает различные значения с некоторой вероятностью. Закон распределения случайной величины показывает частоту ее тех или иных значений в общей их совокупности.

     При исследовании взаимосвязей между экономическими показателями на основе статистических данных часто между ними наблюдается стохастическая зависимость. Она проявляется в том, что изменение закона распределения одной случайной величины происходит под влиянием изменения другой. Взаимосвязь между величинами может быть полной (функциональной) и неполной (искаженной другими факторами).

     Пример  функциональной зависимости выпуск продукции и ее потребление в условиях дефицита.

     Неполная  зависимость наблюдается, например, между стажем рабочих и их производительностью  труда. Обычно рабочие с большим  стажем трудятся лучше молодых, но под влиянием дополнительных факторов образование, здоровье и т.д. эта зависимость может быть искажена.

     Раздел  математической статистики, посвященный  изучению взаимосвязей между случайными величинами, называется корреляционным анализом (от лат. correlatio соотношение, соответствие).

       Основная задача корреляционного  анализа это установление характера и тесноты связи между результативными (зависимыми) и факторными (независимыми) (признаками) в данном явлении или процессе. Корреляционную связь можно обнаружить только при массовом сопоставлении фактов. Характер связи между показателями определяется по корреляционному полю. Если у зависимый признак, а х независимый, то, отметив каждый случай х (i) с координатами х и yi, получим корреляционное поле.

     Теснота связи определяется с помощью коэффициента корреляции, который рассчитывается специальным образом и лежит в интервалах от минус единицы до плюс единицы.

     Если  значение коэффициента корреляции лежит  в интервале от 1 до 0,9 по модулю, то отмечается очень сильная корреляционная зависимость. В случае если значение коэффициента корреляции лежит в интервале от 0,9 до 0,6, то говорят, что имеет место слабая корреляционная зависимость. Наконец, если значение коэффициента корреляции находится в интервале от – 0,6 до 0,6, то говорят об очень слабой корреляционной зависимости или полном ее отсутствии.

     Таким образом, корреляционный анализ применяется  для нахождения характера и тесноты связи между случайными величинами.

     Регрессионный анализ своей целью имеет вывод, определение (идентификацию) уравнения регрессии, включая статистическую оценку его параметров. Уравнение регрессии позволяет найти значение зависимой переменной, если величина независимо^;i или независимых переменных известна. Практически, речь идет о том, чтобы, анализируя множество точек на графике (т.е. множество статистических данных), найти линию, по возможности точно отражающую заключенную в этом множестве закономерность (тренд, тенденцию), линию регрессии.

     По  числу факторов различают одно-, двух- и многофакторные уравнения  регрессии.

     По  характеру связи однофакторные  уравнения регрессии подразделяются:

1. на линейные:

     У= a*bx ,

     где х экзогенная (независимая) переменная, у эндогенная (зависимая, результативная) переменная, а,b параметры;

2. степенные:

     У= a*

3. показательные

     У= a*

     Задача  №2. Основы регрессионного анализа 

     Необходимо:

1. Определить уравнение связи между производительностью труда и рентабельностью предприятия. Вычислить коэффициент корреляции между производительностью труда и рентабельностью предприятия. Проверить гипотезу о значимости отличия коэффициента корреляции от нуля.

     Считая  связь между производительностью  труда и рентабельностью линейной, построить уравнения связи между  названными показателями, используя  метод наименьших квадратов. Проверить  гипотезу об отличии от нуля коэффициента регрессии. Дать экономическую интерпретацию  полученных результатов.

2. Предположить, что связь между производительностью труда и рентабельностью, например, степенная, показательная или др. Произвести все расчеты. Выбрать ту функциональную зависимость, где ошибка коэффициента регрессии Sa1 наименьшая.

 
 
 

     Расчет  коэффициента корреляции:

       

     Вычислим  ошибку коэффициента корелляции:

     

     Рассчитаем  величину t-критерия: 

     

     Табличное значение t-критерия (при восьми степенях свободы и 95% доверительной вероятности):

       

     Таким образом, и, значит, коэффициент корреляции значимо отличен от нуля. Все расчеты представлены в таблице 1. 

 
 
 
 
 
 

     Расчет  уравнения регрессии  

     Для расчета коэффициента регрессии  будет пользоваться методом наименьших квадратов, суть которого состоит в  том, чтобы подобрать такое аналитическое  выражение зависимости между  исследуемыми показателями, для которого сумма квадратов отклонений значений зависимой переменной у, вычисленных  по этому выражению от значений, определяемых по данным наблюдений, была бы минимальной, т.е.

     

       Где   - значение переменной в i-ом наблюдении

            - значение переменной, определенное  расчетом при i-том значении переменной

                  - число наблюдений.

           При использовании  метода наименьших квадратов связь  задается, исходя из экономических  соображений. 

           Если связь  линейная, то

       

     Таким образом, уравнение связи между  производительностью труда и  рентабельностью предприятия имеет  вид: 

     у = 6,760808+0,017785х 

     Проверим  значимости коэффициента (коэффициента регрессии).

     Для этого сначала вычислим остаточную сумму квадратов:

       

     Вычислим  ошибку коэффициента регрессии:

     

           Рассчитаем коэффициент  эластичности:

           

           Все расчеты сведены  в таблицу: