Методы анализа количественного влияния факторов на изменение результативного показателя

Так, если кратную модель факторной системы представить  в виде

 

то  ,

 

тогда аналогичную формулу  можно применять к анализу  кратных моделей факторных систем, т.е.

 

Где

 

Если в кратной модели факторной системы , то при анализе этой модели получим:

 

 

Следует заметить, что последующее  расчленение фактора Δz’y методом логарифмирования на факторы Δz’c и Δz’q, осуществить на практике не удается, т.к. логарифмический метод в своей сути предусматривает получение логарифмических отношений, которые для расчленяющихся факторов будут примерно одинаковыми. Именно в этом и заключается недостаток описанного метода. Применение «смешанного» подхода в анализе кратных моделей факторных систем не решает проблемы получения изолированного значения из всего набора факторов, оказывающих влияние на изменение результативного показателя. Присутствие приближенных вычислений величин факторных изменений доказывает несовершенство логарифмического метода анализа.

Метод коэффициентов. Этот метод, описанный русским математиком  И.А. Белобжецким, основан на сопоставлении  числового значения одних и тех  же базисных экономических показателей  при разных условиях. И.А. Белобжецкий  предложил определять величины влияния  факторов следующим образом:

 

 

Описанный метод коэффициентов  подкупает своей простотой, но при  подстановке цифровых значений в  формулы результат у И.А. Белобжецкого получился правильным лишь случайно. При точном выполнении алгебраических преобразований результат суммарного влияния факторов не совпадает с величиной изменения результативного показателя, полученного прямым расчетом.

Метод дробления приращений факторов.  В анализе хозяйственной деятельности наиболее распространенными являются задачи прямого детерминированного факторного анализа. С экономической точки зрения к таким задачам относится проведение анализа выполнения плана или динамики экономических показателей, при котором рассчитывается количественное значение факторов, оказавших влияние на изменение результативного показателя. С математической точки зрения задачи прямого детерминированного факторного анализа представляют исследование функции нескольких переменных.

Дальнейшим развитием  метода дифференциального исчисления явился метод дробления приращений факторных признаков, при котором  следует вести дробление приращения каждой из переменных на достаточно малые  отрезки и осуществлять пересчет значений частных производных при каждом (уже достаточно малом) перемещении в пространстве. Степень дробления принимается такой, чтобы суммарная ошибка не влияла на точность экономических расчетов.

Отсюда приращение функции z=f(x, у) можно представить в общем  виде следующим образом:

 

 

где n - количество отрезков, на которые дробится приращение каждого  фактора;= - изменение функции z = f(x, у) вследствие изменения фактора х на величину ;= - изменение функции z = f(x, у) вследствие изменения фактора у на величину

Ошибка ε убывает с увеличением n.

Например, при анализе  кратной модели факторной системы  вида методом дробления приращений факторных признаков получим следующие формулы расчета количественных величин влияния факторов на результирующий показатель:

 

 

ε можно пренебречь, если п будет достаточно велико.

Метод дробления приращений факторных признаков имеет преимущества перед методом цепных подстановок. Он позволяет определить однозначно величину влияния факторов при заранее  заданной точности расчетов, не связан с последовательностью подстановок и выбором качественных и количественных показателей-факторов. Метод дробления требует соблюдения условий дифференцируемости функции в рассматриваемой области.

Интегральный метод оценки факторных влияний. Дальнейшим логическим развитием метода дробления приращений факторных признаков стал интегральный метод факторного анализа. Этот метод основывается на суммировании приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках. При этом должны соблюдаться следующие условия:

непрерывная дифференцируемость функции, где в качестве аргумента  используется экономический показатель;

функция между начальной  и конечной точками элементарного периода изменяется по прямой;

постоянство соотношения  скоростей изменения факторов

 

 

В общем виде формулы расчета  количественных величин влияния  факторов на изменение результирующего  показателя (для функции z=f(x, у) - любого вида) выводятся следующим образом, что соответствует предельному случаю, когда :

 

 

где Гe - прямолинейный ориентированный  отрезок на плоскости (x, у), соединяющий  точку (х0, y0) с точкой (x1, у1).

В реальных экономических  процессах изменение факторов в  области определения функции может происходить не по прямолинейному отрезку e, а по некоторой ориентированной кривой. Но т.к. изменение факторов рассматривается за элементарный период (т.е. за минимальный отрезок времени, в течение которого хотя бы один из факторов получит приращение), то траектория кривой определяется единственно возможным способом - прямолинейным ориентированным отрезком кривой, соединяющим начальную и конечную точки элементарного периода.

Выведем формулу для общего случая.

Задана функция изменения  результирующего показателя от факторов

 

Y = f(x1, x2,..., хт),

 

где xj - значение факторов; j = 1, 2,..., т; у - значение результирующего  показателя.

Факторы изменяются во времени, и известны значения каждого фактора  в п точках, т.е. будем считать, что в m-мерном пространстве задано п точек:

 

 

где xji - значение j-го показателя в момент i.

Точки M1 и Мп соответствуют  значениям факторов на начало и конец  анализируемого периода соответственно.

Предположим, что показатель у получил приращение Δy за анализируемый, период; пусть функция y = f(x1, x2,..., xm)дифференцируема и f'xj(x1, х2,..., хт) - частная производная от этой функции по аргументу xj.

Допустим, Li - отрезок прямой, соединяющий две точки Mi и Mi+1 (i=1, 2, …, n-1).

Тогда параметрическое уравнение  этой прямой можно записать в виде

 

 

Введем обозначение

 

 

Учитывая эти две формулы, интеграл по отрезку Li можно записать следующим образом:

= 1, 2,…, m; I = 1,2,…,n-1.

 

Вычислив все интегралы, получим матрицу

 

 

Элемент этой матрицы yij характеризует  вклад j-го показателя в изменение  результирующего показателя за период i.

Просуммировав значения Δyij по таблицам матрицы, получим следующую строку:

 

(Δy1, Δy2,…, Δyj, …, Δym.);

дифференциальный  индексный показатель факторный

Значение любого j-го элемента этой строки характеризует вклад j-го фактора в изменение результирующего показателя Δy. Сумма всех Δyj (j = 1, 2,..., m) составляет полное приращение результирующего показателя.

Можно выделить два направления  практического использования интегрального  метода в решении задач факторного анализа. К первому направлению можно отнести задачи факторного анализа, когда не имеется данных об изменении факторов внутри анализируемого периода или от них можно абстрагироваться, т.е. имеет место случай, когда этот период следует рассматривать как элементарный. В этом случае расчеты следует вести по ориентированной прямой. Этот тип задач факторного анализа можно условно именовать статическим, т.к. при этом участвующие в анализе факторы характеризуются неизменностью положения по отношению к одному фактору, постоянством условий анализа измеряемых факторов независимо от нахождения их в модели факторной системы. Соизмерение приращений факторов происходит по отношению к одному выбранному для этой цели фактору.

К статическим типам задач  интегрального метода факторного анализа  следует относить расчеты, связанные с анализом выполнения плана или динамики (если сравнение производится с предшествующим периодом) показателей. В этом случае данных об изменении факторов внутри анализируемого периода нет.

Ко второму направлению  можно отнести задачи факторного анализа, когда имеется информация об изменениях факторов внутри анализируемого периода и она должна приниматься во внимание, т.е. случай, когда этот период в соответствии с имеющимися данными разбивается на ряд элементарных. При этом расчеты следует вести по некоторой ориентированной кривой, соединяющей точку (х0, у0) и точку (x1, y1) для двухфакторной модели. Задача состоит в том, как определить истинный вид кривой, по которой происходило во времени движение факторов х и y. Этот тип задач факторного анализа можно условно именовать динамическим, т.к. при этом участвующие в анализе факторы изменяются в каждом разбиваемом на участки периоде.

К динамическим типам задач  интегрального метода факторного анализа  следует относить расчеты, связанные с анализом временных рядов экономических показателей. В этом случае можно подобрать, хотя и приближенно, уравнение, описывающее поведение анализируемых факторов во времени за весь рассматриваемый период. При этом в каждом разбиваемом элементарном периоде может быть принято индивидуальное значение, отличное от других. Интегральный метод факторного анализа находит применение в практике детерминированного экономического анализа.

В отличие от цепного метода в интегральном методе действует  логарифмический закон перераспределения факторных нагрузок, что свидетельствует о его больших достоинствах. Этот метод объективен, поскольку исключает какие-либо предположения о роли факторов до проведения анализа. В отличие от других методов факторного анализа при интегральном методе соблюдается положение о независимости факторов.

Важной особенностью интегрального  метода факторного анализа является то, что он дает общий подход к  решению задач самого разного  вида независимо от количества элементов, входящих в модель факторной системы, и формы связи между ними. Вместе с тем в целях упрощения вычислительной процедуры разложения приращения результирующего показателя на факторы следует придерживаться двух групп (видов факторных моделей: мультипликативных и кратных.)

Вычислительная процедура интегрирования одна и та же, а получаемые конечные формулы расчета факторов различны. Формирование рабочих формул интегрального метода для мульти-пликативных моделей. Применение интегрального метода факторного анализа в детерминированном экономическом анализе наиболее полно решает проблему получения однозначно определяемых величин влияния факторов.

Появляется потребность  в формулах расчета влияния факторов для множества видов моделей  факторных систем (функций). Выше было установлено, что любую модель конечной факторной системы можно привести к двум видам - мультипликативной и кратной. Это условие предопределяет то, что исследователь имеет дело с двумя основными видами моделей факторных систем, т.к. остальные модели - это их разновидности.

Операция вычисления определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования выполняется по стандартной программе, заложенной в память машины. В этой связи задача сводится лишь к построению подынтегральных выражений, которые зависят от вида функции или модели факторной системы.

Для облегчения решения задачи построения подынтегральных выражений  в зависимости от вида модели факторной  системы (мультипликативные или  кратные) предложим матрицы исходных значений для - построения подынтегральных выражений элементов структуры факторной системы. Принцип, заложенный в матрицах, позволяет построить подынтегральные выражения элементов структуры факторной системы для любого набора элементов модели конечной факторной системы. В основном построение подынтегральных выражений элементов структуры факторной системы - процесс индивидуальный, и в случае, когда число элементов структуры измеряется большим количеством, что в экономической практике является редкостью, исходят из конкретно заданных условий.

Примером детерминированного цепного факторного анализа может  быть внутрихозяйственный анализ производственного  объединения, при котором оценивается  роль каждой производственной единицы  в достижении лучшего результата в целом по объединению.

 

 

Список используемой литературы

 

1. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник. - 4-е изд., доп. и перераб. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 416 с.

2. Зенкина И.В. Теория экономического анализа, часть 1: Учеб. Пособие / Рост. гос. экон. универ. - Ростов н/Д., - 2001. - 131 с.

. Лысенко Д.В. Экономический анализ: учеб. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2008. - 376 с.

. Зенкина И.В. Теория экономического анализа: Учебное пособие. - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К̊», Ростов н/Д: Наука - Пресс, 2007. - 208 с.

. Теория экономического анализа: Учебно-методический комплекс / Е.А. Едалина; Ульян. Гос. техн. Ун-т. - Ульяновск: Ул. ПТУ, 2003. - 108 с.

. Теория экономического анализа: Учебник / под ред. М.И. Баканов. - 5-е изд. Перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 536 с.

. Фирстова С.Ю. Экономический анализ в вопросах и ответах: учеб. Пособие. - М.: КНОРУС, 2006 - 184 с.