Методы анализа количественного влияния факторов на изменение результативного показателя

Министерство сельского  хозяйства Российской Федерации

ФГБОУ ВПО "ВОРОНЕЖСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  ИМ. К.Д. ГЛИНКИ "

Кафедра Статистики и анализа  хозяйственной деятельности предприятий  АПК

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

По предмету: Теория экономического анализа

На тему: Методы анализа количественного влияния  факторов на изменение результативного  показателя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Павловск - 2011 г.

 

Методы анализа  количественного влияния факторов на изменение результативного показателя

 

Метод дифференциального исчисления. Теоретической основой для количественной оценки роли отдельных факторов в динамике результативного (обобщающего) показателя является дифференцирование.

В методе дифференциального  исчисления предполагается, что общее  приращение функций (результирующего показателя) различается на слагаемые, где значение каждого из них определяется как произведение соответствующей частной производной на приращение переменной, по которой вычислена данная производная. Рассмотрим задачу нахождения влияния факторов на изменение результирующего показателя методом дифференциального исчисления на примере функции от двух переменных. Пусть задана функция z = f(x, у), тогда, если функция дифференцируема, ее приращение можно выразить как

 

 

где - изменение функций;

Δx(x1 - xo) - изменение первого фактора;

- изменение второго фактора;

- бесконечно малая величина  более высокого порядка, чем .

Влияние факторов х и у  на изменение z определяется в этой случае как

 

 

 

а их сумма представляет собой главную (линейную относительно приращения факторов) часть приращения дифференцируемой функции. Следует отметить, что параметр мал при достаточно малых изменениях факторов и его значения могут существенно отличаться от нуля при больших изменениях факторов. Т.к. этот метод дает однозначное разложение влияния факторов на изменение результирующего показателя, то это разложение может привести к значительным ошибкам в оценке влияния факторов, поскольку в ней не учитывается величина остаточного члена, т.е. .

Рассмотрим применение метода на примере конкретной функции: z = xy. Пусть известны начальные и конечные значения факторов и результирующего  показателя (х0, у0, z0, x1, y1, z1), тогда влияние  факторов на изменение результирующего показателя определяется соответственно формулами:

 

, .

 

Легко показать, что остаточный член в линейном разложении функции z = xy равен  .

Действительно, общее изменение функции составило , а разность между общим изменением и вычисляется по формуле

 

 

Таким образом, в методе дифференциального исчисления так называемый неразложимый остаток, который интерпретируется как логическая ошибка метода дифференцирования, просто отбрасывается. В этом состоит «неудобство» дифференцирования для экономических расчетов, в которых, как правило, требуется точный баланс изменения результативного показателя и алгебраической суммы влияния всех факторов.

Индексный метод определения  влияния факторов на обобщающий показатель в статистике, планировании и анализе  хозяйственной деятельности основой для количественной оценки роли отдельных факторов в динамике изменений обобщающих показателей являются индексные модели.

Так, изучая зависимость  объема выпуска продукции на предприятии  от изменений численности, работающих и производительности их труда, можно воспользоваться следующей системой взаимосвязанных индексов:

 

(5.2.1)

(5.2.2)

(5.2.3)

 

где IN - общий индекс изменения  объема выпуска продукции;- индивидуальный (факторный) индекс изменения численности  работающих;- факторный индекс изменения производительности труда работающих;, D1 - среднегодовая выработка товарной (валовой) продукции на одного работающего соответственно в базисном и отчетном периодах;, R1 - среднегодовая численность промышленно-производственного персонала соответственно в базисном и отчетном периодах.

Приведенные формулы показывают, что общее относительное изменение  объема выпуска продукции образуется как произведение относительных  изменений двух факторов: численности  работающих и производительности их труда. Формулы отражают принятую в статистике практику построения факторных индексов, суть которой можно сформулировать следующим образом. Если обобщающий экономический показатель представляет собой произведение количественного (объемного) и качественного показателей-факторов, то при определении влияния количественного фактора качественный показатель фиксируется на базисном уровне, а при определении влияния качественного фактора количественный показатель фиксируется на уровне отчетного периода.

Индексный метод позволяет провести разложение по факторам не только относительных, но и абсолютных отклонений обобщающего показателя. В нашем примере формула (5.2.1) позволяет вычислять величину абсолютного отклонения (прироста) обобщающего показателя - объема выпуска товарной продукции предприятия:

 

 

где - абсолютный прирост объема выпуска товарной продукции в анализируемом периоде.

Это отклонение образовалось под влиянием изменений численности работающих и производительности их труда. Чтобы определить, какая часть общего изменения объема выпуска продукции достигнута за счет изменения каждого из факторов в отдельности, необходимо при расчете влияния одного из них элиминировать влияние другого фактора.

Формула (5.2.2) соответствует  данному условию. В первом сомножителе  элиминировано влияние производительности труда, во втором - численности работающих, следовательно, прирост объема выпуска  продукции за счет изменения численности  работающих определяется как разность между числителем и знаменателем первого сомножителя:

 

 

Прирост объема выпуска продукции  за счет изменения производительности труда работающих определяется аналогично по второму сомножителю:

 

 

Изложенный принцип разложения абсолютного прироста (отклонения) обобщающего показателя по факторам пригоден для случая, когда число  факторов равно двум (один из них  количественный, другой качественный), а анализируемый показатель представлен как их произведение.

Теория индексов не дает общего метода разложения абсолютных отклонений обобщающего показателя по факторам при числе факторов более  двух.

Метод цепных подстановок. Этот метод заключается, как уже доказывалось, в получении ряда промежуточных значений обобщающего показателя путем последовательной замены базисных значений факторов на фактические. Разность двух промежуточных значений обобщающего показателя, в цепи подстановок равна изменению обобщающего, показателя, вызванного изменением соответствующего фактора.

В общем виде имеем следующую  систему расчетов по методу цепных подстановок:

 

- базисное значение обобщающего  показателя;

- промежуточное значение;

- промежуточное значение;

- промежуточное значение;

- фактическое значение.

 

Общее абсолютное отклонение обобщающего показателя определяется по формуле

 

 

Общее отклонение обобщающего  показателя раскладывается на факторы:

за счет изменения фактора  а

 

 

за счет изменения фактора b

 

 

и т. д.

Метод цепных подстановок, как  и индексный, имеет недостатки, о  которых следует знать при  его применении. Во-первых, результаты расчетов зависят от последовательной замены факторов; во-вторых, активная роль в изменении обобщающего показателя необоснованно часто приписывается влиянию изменения качественного фактора.

Например, если исследуемый  показатель z имеет вид функции  , то его изменение за период выражается формулой

 

 

где Δz - приращение обобщающего показателя;

Δx, Δy - приращение факторов;y0 - базисные значения факторов;t1 - соответственно базисный и отчетный периоды времени.

Группируя в этой формуле  последнее слагаемое с одним  из первых, получаем два различных  варианта цепных подстановок.

Первый вариант:

 

 

Второй вариант:

 

 

На практике обычно применяется  первый вариант (при условии, что  х - количественный фактор, а у - качественный).

В этой формуле выявляется влияние качественного фактора на изменение обобщающего показателя, т.е. выражение более активно связи получить однозначное количественное значение отдельных факторов без соблюдения дополнительных условий не представляется возможным.

Метод взвешенных конечных разностей.  Этот метод состоит в том, что величина влияния каждого фактора определяется как по первому, так и по второму порядку подстановки, затем результат суммируется и от полученной суммы берется средняя величина, дающая единый ответ о значении влияния фактора. Если в расчете участвует больше факторов, то их значения рассчитываются по всем возможным подстановкам. Опишем этот метод математически, используя обозначения, принятые выше.

 

 

Как видно, метод взвешенных конечных разностей учитывает все  варианты подстановок. Одновременно при усреднении нельзя получить однозначное количественное значение отдельных факторов. Этот метод весьма трудоемкий и, по сравнению с предыдущим методом, усложняет вычислительную процедуру, т.к. приходится перебирать все возможные варианты подстановок. В своей основе метод взвешенных конечных разностей идентичен (только для двухфакторной мультипликативной модели) методу простого прибавления неразложимого остатка при делении этого остатка между факторами поровну. Это подтверждается следующим преобразованием формулы

 

 

Аналогично

 

 

Следует заметить, что с  увеличением количества факторов, а  значит, и количества подстановок, описанная  идентичность методов не подтверждается.

Логарифмический метод.  Этот метод, состоит в том, что  достигается логарифмически пропорциональное распределение остатка по двум искомым  факторам. В этом случае не требуется  установления очередности действия факторов.

Математически этот метод  описывается следующим образом.

Факторную систему z = xy можно  представить в виде lg z=lg x + lg y, тогда

 

где

 

Разделив обе части  формулы на и умножив на Δz, получим

 

(*)

 

Где

 

Выражение (*) для Δz представляет собой не что иное, как его логарифмическое пропорциональное распределение по двум искомым факторам. Именно поэтому авторы такого подхода назвали этот метод «логарифмическим методом разложения приращения Δz на факторы». Особенность логарифмического метода разложения состоит в том, что он позволяет определить безостаточное влияние не только двух, но и многих изолированных факторов на изменение результативного показателя, не требуя установления очередности действия.

В более общем виде этот метод был описан еще математиком  А. Хумалом, который писал: «Такое разделение прироста произведения может быть названо  нормальным. Название оправдывается  тем, что полученное правило разделения остается в силе при любом числе сомножителей, а именно: прирост произведения разделяется между переменными сомножителями пропорционально логарифмам их коэффициентов изменения». Действительно, в случае наличия большего числа сомножителей в анализируемой мультипликативной модели факторной системы (например, z=xypm) суммарное приращение результативного показателя Δzсоставит

 

 

Разложение прироста на факторы  достигается за счет ввода коэффициента k, который в случае равенства  нулю или взаимного погашения факторов не позволяет использовать указанный метод. Формулу для Δz можно записать иначе:

 

Где

 

В таком виде эта формула  в настоящее время используется как классическая, описывающая логарифмический  метод анализа. Из этой формулы следует, что общее приращение результативного  показателя распределяется по факторам пропорционально отношению логарифмов факторных индексов к логарифму результативного показателя. При этом не имеет значения, какой логарифм используется (натуральный ln N или десятичный lg N).

Основным недостатком  логарифмического метода анализа является то, что он не может быть «универсальным», его нельзя применять при анализе любого вида моделей факторных систем. Если при анализе мультипликативных моделей факторных систем при использовании логарифмического метода достигается получение точных величин влияния факторов (в случае, когда ), то при таком же анализе кратных моделей факторных систем получение точных величин влияния факторов не удается.