Макроэкономическая динамика

Оглавление: 

УСЛОВНЫЕ  ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ. 
ВВЕДЕНИЕ. 
1. ИНСТРУМЕНТЫ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА. 
1.1. Модели экономической динамики. 
1.2. Производственные функции. 
1.3. Учет научно-технического прогресса. 
1.4. Методы решения задач оптимального управления. 
2. РАЗРАБОТКА МЕТОДА РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ. 
2.1. Постановка задачи (каноническая форма). 
2.2. Аналитический метод решения задачи. 
2.2.1. Метод построения оптимального управления как функции двойственных переменных. 
2.2.2. Метод построения оптимального управления как функции фазовых переменных.'. 
2.3. Численная реализация метода. 
3. МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. 
3.1. Двухфакторная задача оптимального управления. 
3.1.1. Постановка задачи. 
3.1.2. Анализ решения задачи. 
3.2. Задача оптимального управления с учетом научно-технического прогресса. 
3.2.1. Постановка задачи с учетом распределения факторов производства по возрастам. 
3.2.2. Редукция задачи к канонической форме. 
4. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ. 
4.1. Результаты численной реализации двухфакторной модели. 
4.1.1. Численная реализация метода решения задачи. 
4.1.2. Тестирование метода. 
4.1.3. Параметрические исследования модели. 
4.2. Результаты численной реализации четырехфакторной модели. 
4.2.1. Численная реализация метода решения задачи. 
4.2.2. Параметрические исследования модели.

Введение: 

    Актуальность  темы. В России в последние годы наблюдается период экономического роста. В Послании Президента В.В. Путина Федеральному Собранию Российской Федерации 16 мая 2003 года [1] была сформулирована задача удвоения валового внутреннего продукта (ВВП) за десять лет. Именно динамика изменения ВВП на душу населения рассматривается в качестве оценки успеха мероприятий по обеспечению экономического роста. Особенно важен этот показатель в странах, выходящих из долгих периодов застоя или кризиса. Этот вопрос приобретает дополнительную актуальность в России по причине больших экономических потерь в период 1992-1998 гг., приведших к значительному снижению уровня жизни населения. В Программе социально-экономического развития России, утвержденной правительством РФ в январе 2006 года [2], также говорится о необходимости создания системы стимулирования экономического роста.

    При выработке определенной политики улучшения  макроэкономических показателей возникает  необходимость в предварительном  анализе экономики, сложившейся  в настоящее время, в прогнозировании  и планировании ее на будущее. Для  этого применяются методы математического  моделирования динамики макроэкономических систем, статистические методы обработки  информации, методы оптимизации и  др.

    По  мнению экономистов [3, 4], из четырех  основных экономических проблем: размещение ресурсов, распределение дохода, экономическая  устойчивость и экономический рост - последняя остается наиболее неизученной. В настоящей работе затрагиваются  в большей или меньшей степени  все названные проблемы, но именно оптимальный экономический рост является центральным понятием.

    В работах, касающихся изучения экономической  динамики, наиболее распространены одномерные модели. В реальных системах на экономический  рост влияет множество факторов. Разработка и математический анализ много' мерных моделей позволит расширить спектр решаемых прикладных задач.

    Краткая историческая справка. В двадцатом  веке в экономическом анализе  основное внимание уделялось изучению статического развития экономических  систем. В области изучения динамики, законов экономического, роста существуют многочисленные работы представителей неоклассической теории (Т. Свана [5], Р. Харрода [6, 7], И. Домара [8], П. Агийона [9-11],), в том числе Нобелевских лауреатов (например, Т. Купманса [12], С. Кузнеца [13], Р. Солоу [14-17]), в которых анализируются некоторые детерминанты экономического роста. Неоклассические модели связывают экономический рост с накоплением капитала и техническими изменениями [18]. В рамках неоклассической теории проблемами учета и моделирования научно-технического прогресса занимались такие ученые как Й. Шумпетер [19, 20], П. Роумер [21-23], М. Олсон [24], Д. Норт [25, 26].

    Двадцатый век ознаменовался интенсивным  развитием математических методов  описания и исследования экономических  процессов. Большой интерес представляют работы, в которых внимание уделяется  построению и использованию.производственных функций.

    В. Рамсей предложил в 1928 году модель долгосрочного  роста, предвосхитившую актуальные в наше время исследования по проблемам  оптимального экономического роста [27].

    Дж. фон Неймана разработал в. 1932 году многосекторную модель расширяющейся  экономики [28], положившую начало магистральной  теории. В России в начале XX века большой вклад в развитие этого направления внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий [29-32]. В< 1960 — 80-е годы экономико-математическое моделирование особенно продвинулось благодаря таким ученым, как B.C. Немчинов [33], В.В. Новожилов [34], JI.B. Канторович [35-36], которые предложили модели многосекторной экономики. Строились многоуровневые системы моделей народно-хозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий [37-44].

    Существенный  вклад в развитие математических методов в экономике внесли JI. Вальрас [45], О. Курно, В. Парето [46], Ф. Эджворт, А.И. Анчишкин [47], С.А. Айвазян [48-49], В.И. Данилов и др. [37].

    У истоков моделирования экономической  динамики стоят работы В.В. Леонтьева. В дальнейшем эта область получила значительное развитие в работах  Д. Гейла [50], В.Л. Макарова [51-52], A.M. Рубинова [52-53], И.В. Романовского [54],

    Отдельно  следует выделить работы Л.С. Понтрягина [55-57] и Р. Беллма-на [58], внесших большой вклад в разработку инструментальных методов оптимального управления и математического анализа динамических экономических систем.

    Следует отметить, что оптимизационные динамические модели экономических систем основаны на классических работах Ф. Рамсея [27], Д. Касса [59], Т. Купманса [12], Р. Солоу [14-17]. Развитие этих моделей представлено работами В.Д. Матвеенко [60], В.З. Беленького [61-72] и др. [73-83].

    Объектом  исследования диссертационной работы является теория оптимального распределения  капиталовложений в задачах макроэкономической динамики.

    Предметом исследования является математический и инструментальный аппарат решения  задач оптимального распределения  капиталовложений.

    Целью работы является разработка эффективного метода решения задачи оптимального распределения капиталовложений в фазовом пространстве произвольной размерности и анализ траекторий развития макроэкономической системы.

    В ходе работы решались следующие научные  и практические задачи.

    1. Построение оптимизационной математической  модели динамики макроэкономической  системы в многомерном фазовом  пространстве, учитывающей инвестиционные  процессы; и максимальный рост  благосостояния населения. .

    2. Разработка эффективного метода  реализации многомерной модели; Тестирование разработанного метода  для решения задач оптимального  управления в фазовых пространствах  различной размерности.

    3. Разработка многофакторной оптимизационной  модели макроэкономи-: ческой системы, учитывающей научно-технический прогресс в производственной и социальной сфере.

    4. Проведение анализа и параметрических  исследований многомерных экономико-математических  моделей.

    Методы  исследования. В работе использованы методы теории оптимизации, теории оптимального управления, теории дифференциальных уравнений, математического компьютерного моделирования.

    На  защиту выносятся:

    1. Негомогенная; оптимизационная математическая  модель динамики макроэкономической  системы в многомерном фазовом  пространстве, учитывающая инвестирование  средств в факторы производства, критерием; оптимальности в которой является максимизация благосостояния населения.

    2. Метод решения задачи оптимального  управления в многомерном фазовом?  пространстве (индексный метод), основанный  на применений принципа максимума Понтрягина. Результаты тестирования разработанного метода решения задачи в двумерном и четырехмерном фазовых пространствах.

    3". Многофакторная оптимизационная'  математическая;; модель макроэкономической  системы, учитывающая научно-технический  прогресс в производственной1 и социальной сфере'. .

    •4. Анализ результатов численной; реализации и параметрических исследований экономико-математических моделей. •

    Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов обеспечена корректностью  математических постановок задач (основанных на модели Рамсея-Касса-Купманса). Метод разработан на основе известного подхода к решению задач оптимального управления (принципа максимума Понтря-гина). При тестировании разработанного метода для моделей различной размерности выявлено влияние различных параметров макроэкономической системы на макроэкономическое развитие и доказана эквивалентность решений, полученных разработанным методом и принципом максимума. Полученные решения исследованы на сходимость, точность и устойчивость.

    Научная новизна заключается в следующем:

    1. В негомогенной оптимизационной  модели динамики макроэкономической  системы в многомерном фазовом  пространстве впервые учитывается  эффективность инвестиций и нижняя  граница значений управляющих  переменных.

    2. Новый аналитический метод решения  задачи оптимального управления  макроэкономической системой, в  отличие от существующих методов,  не требует знания граничных  условий для вектора двойственных  переменных и позволяет строить  оптимальные траектории в фазовых  пространствах произвольной размерности.

    3. В многофакторной оптимизационной  математической* модели впервые  осуществляется одновременный учет  научно-технического прогресса в  производственной и социальной  сфере, а также распределения  факторов во временно-возрастной  плоскости.

    4. Впервые индексным методом проведены  комплексные исследования, в ходе  которых установлены оптимальные  пропорции распределения капиталовложений, а также выявлены существенные  параметры, влияющие на показатели  макроэкономического роста.

    Значение  научных результатов для теории

    Сформулированная  в работе модель динамики макроэкономической системы (региона) позволяет планировать  оптимальное распределение капиталои вложений при учете произвольного конечного числа факторов, влияющих на макроэкономическое развитие.

    Доказана  теорема, согласно которой, в случае выпуклых производственных функций, гамильтониан разработанной модели является выпуклым, что обеспечивает необходимость  и достаточность условий оптимальности  траекторий, построенных на основе принципа максимума.

    Метод решения многомерных задач оптимального управления может быть непосредственно  использован при построении и  анализе экономических моделей.

    Значение  научных результатов для практики

    Метод позволяет свести решение двойственной задачи оптимального управления с неизвестными граничными условиями для сопряженных  переменных к решению прямой задачи для фазовых переменных, что в  многомерном фазовом пространстве существенно сокращает объем  необходимых вычислений для определения  оптимальной траектории.

    На  основе построенного алгоритма разработан программный комплекс, который может быть использован для решения задач оптимального управления экономической системой на региональном уровне, в том числе в случае учета инновационных процессов. В качестве примера проведены расчеты по Удмуртской Республике.

    Разработанный- метод используется в учебном процессе специальности 061800 «Математические методы в экономике» на факультете «Прикладная математика» Ижевского государственного технического университета.

    Апробация работы. Материалы диссертационной  работы докладывались и обсуждались  на следующих научных конференциях: Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XVII» (Воронеж, 3-9 мая 2006 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Инновационная экономика и региональное инновационно-устойчивое развитие» (Чебоксары, 25 октября 2006 г.); Воронежской зимней математической школе «Современные методы, теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 27 января — 2 февраля 2007 г.); Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XVIII» (3-9 мая 2007 г.); 3-ей Международной научно-практической конференции «Достижения ученых XXI века» (Тамбов, 30-31 июля 2007 г.); Всероссийской научно-практической internet-конференции «Проблемы функционирования и развития социально-экономических систем» (Уфа; 15 октября — 15 ноября 2007 г.); Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XIX» (3-9 мая 2008 г.).