Контрольная работа по "Экономике"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ АВИАЦИОННЫЙ  
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

«математические методы в экономике»

ВАРИАНТ № 18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент 2 курса Ф-211 группы ИНЭК факультета заочной формы обучения Степанов А. А. «___»_____________2012 г. (дата сдачи контрольной работы)

Проверил: ________________________________   _________________________(и.о.фам.) «___»_____________2012 г. оценка:_____________

 

 

 

 

Уфа – 2012

 

Задача № 18

Предприятие располагает  ресурсами сырья, рабочей силы и  оборудования, необходимыми для производства любого из четырех видов производимой продукции. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида продукции, прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице.

Виды ресурсов	Виды продукции				Запасы ресурсов
	1	2	3	4
Сырье, кг	6	7	10	8	70
Рабочая сила, ч	20	12	8	15	500
Оборудование, станко-ч	12	15	18	20	130
Прибыль на единицу продукции, тыс. руб.	20	30	50	40	—

 

По государственному заказу, принятому предприятием, должно быть выпущено не менее 1 ед. продукции первого вида и 5 ед. – второго вида.

Необходимо определить, сколько продукции каждого вида надо выпускать, чтобы прибыль была максимальной, и на какой вид продукции (первый или второй) выгоднее всего принимать дополнительный заказ?

Задание:

1. Составить математическую модель данной задачи.
2. Написать двойственную задачу.
3. Решить одну из задач симплексным методом.
4. Провести анализ оптимального решения:
• объяснить экономическое содержание основных и дополнительных переменных прямой и двойственной задач;
• определить возможность расширения ассортимента продукции;
• определить границы изменения показателей эффективности при сохранении оптимальности плана.

Решение:

1. Обозначим количество выпускаемых изделий 1, 2, 3, 4, 5 соответственно как х₁, х₂, х₃, х₄.  Имея ограничения по запасам ресурсов и зная нормы расхода ресурсов на изготовление изделий, а также цены готовых изделий и задачу максимизации прибыли – мы можем сформулировать математическую модель задачи линейного программирования.

2. Используя теоремы  двойственности, составим модель такой задачи. Обозначим двойственные оценки ресурсов: сырья, рабочей силы и оборудования соответственно как y₁, y₂, y₃. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость используемых ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи соответствует числу переменных исходной задачи и равно 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

3. Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции:

F(X) = 20x₁ + 30x₂ + 50x₃ + 40x₄,

при следующих условиях-ограничениях:

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет  вид:

6	7	10	8	1	0	0
20	12	8	15	0	1	0
12	15	18	20	0	0	1

 

Решим систему уравнений  относительно базисных переменных:

x₅, x₆, x₇,

Полагая, что свободные  переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,0,70,500,130)

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	70	6	7	10	8	1	0	0
x6	500	20	12	8	15	0	1	0
x7	130	12	15	18	20	0	0	1
F(X0)	0	-20	-30	-50	-40	0	0	0

 

Переходим к основному  алгоритму симплекс-метода.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной  строке находятся отрицательные  коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i3

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент  равен (10) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

 

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x5	70	6	7	10	8	1	0	0	7
x6	500	20	12	8	15	0	1	0	621/2
x7	130	12	15	18	20	0	0	1	72/9
F(X1)	0	-20	-30	-50	-40	0	0	0	0

 

 Получаем новую  симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x3	7	3/5	7/10	1	4/5	1/10	0	0
x6	444	151/5	62/5	0	83/5	-4/5	1	0
x7	4	11/5	22/5	0	53/5	-14/5	0	1
F(X1)	350	10	5	0	0	5	0	0

 

Конец итераций: индексная  строка не содержит отрицательных элементов – найден оптимальный план.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x3	7	3/5	7/10	1	4/5	1/10	0	0
x6	444	151/5	62/5	0	83/5	-4/5	1	0
x7	4	11/5	22/5	0	53/5	-14/5	0	1
F(X2)	350	10	5	0	0	5	0	0

 

Оптимальный план можно  записать так:

x₃ = 7

x₆ = 444

x₇ = 4

Х=(0; 0; 7; 0; 0; 444; 4),

F(X) = 50 * 7 = 350.

Следовательно, план выпуска  продукции, включающий изготовление 7 изделий 3 вида является оптимальным. При данном плане выпуска продукции полностью используется ресурс I вида и остается неиспользованным 444 единиц сырья II вида и 4 единицы сырья III вида, а стоимость производимой продукции равна 350 денежных единиц.

Оптимальным планом производства продукции  не предусматривается изготовление изделий 1, 2 и 4 вида продукции.

4. Дополнительные переменные  по экономическому смыслу означают  не используемое при данном  плане производства количество  ресурсов того или иного вида  продукции.

Составим математическую модель двойственной задачи: минимизировать при ограничениях

При решении задачи «вручную»  симплексным методом надо перейти  к канонической форме, добавляя в  каждое ограничение неотрицательную  дополнительную переменную.

Запишем канонические формы  прямой и двойственной задач в следующей таблице.

Прямая задача	Двойственная задача
Максимизировать при ограничениях	Минимизировать при ограничениях

 

В канонической форме  прямой задачи переменные х₁, х₂, х₃, х₄ являются основными, а переменные х₅, х₆, х₇ – дополнительными. В канонической форме двойственной задачи основными переменными являются у₁, у₂, у₃, а переменные у₄, у₅, у₆, у₇ – дополнительными.

Между переменными прямой и двойственной задачами существует взаимно-однозначное соответствие, которое представлено в следующей таблице.

	Основные переменные	Дополнительные переменные
Прямая задача	х1, х2, х3, х4	х5, х6, х7
Двойственная задача	у4, у5, у6, у7	у1, у2, у3
	Дополнительные переменные	Основные переменные