Компьютерное моделирования рыночных механизмов

Рис.3. Детерминированный хаос. Слева изображена фазовая диаграмма, характеризующая динамику переменной y_t. Справа — соответствующее изменение y_t во времени.

     Рассмотрим  внимательно рис.3 (справа), где показана динамика переменной y_t на небольшом временном промежутке. У читателя может сложиться впечатление, что здесь переменная y_t изменяется случайным образом, хаотично. Но так как динамика системы описывается детерминированным уравнением (6), эту особенность стали называть детерминированным хаосом.

     Для иллюстрации свойства бифуркации удобно использовать бифуркационные диаграммы, которые в случае одномерного  отображения представляют собой  множество точек плоскости, абсциссы которых равны значениям бифуркационного параметра, а ординаты — установившимся значениям рассматриваемой переменной (рис.4). На рисунке видно, как по мере роста параметра A меняется характер решения. Сначала решение соответствует состоянию равновесия, затем становится периодическим, с циклическими колебаниями переменной yt между двумя значениями (кривая “раздваивается”), и, наконец, переходит к детерминированному хаосу (тонированная область на диаграмме).

     До  сих пор мы говорили об одномерном отображении, которое возникало при моделировании динамики национального дохода в духе упрощенной модели Кейнса. Однако макроэкономика — сложная система, и ее развитие характеризуется многими переменными. Мы разработали различные нелинейные динамические модели, в которых рассматривалась динамика ряда макропеременных, в том числе ставки процента и уровня цен. Естественно, что усложнение объекта исследования (в частности, учет взаимовлияния товарного и денежного рынков) приводило к усложнению модели: увеличивалась не только размерность отображения, но и число бифуркационных параметров.

     Выполненные нами вычислительные эксперименты свидетельствуют: при увеличении размерности модели усложняется поведение рассматриваемой  динамической системы, что видно  из сравнения рис.4 и 5. Однако основное свойство одномерного отображения (6) — свойство бифуркации — также присуще построенным двумерному и трехмерному точечным отображениям, моделирующим взаимовлияние конечного продукта, уровня цен и ставки процента. Здесь, как и в одномерном случае, состояние равновесия макроэкономической системы сменяется циклами периодов 2, 4, 8 и т.д., которые переходят в область хаоса; хаотичное изменение сменяется на циклическое с периодами 5, 6 и выше, после чего период может снизиться, потом снова возможно хаотическое поведение и т.д. При этом область устойчивости равновесного решения достаточно узкая (см. рис.5).

Рис.4. Бифуркационная диаграмма одномерного отображения (6) и ее увеличенный фрагмент (справа). По оси абсцисс откладываются значения параметра A, по оси ординат — значения переменной y_t при 4900<t<5000.

Рис.5. Проекция бифуркационной диаграммы трехмерного отображения (случай взаимовлияния ставки процента, уровня цен и конечного продукта). По оси абсцисс откладываются значения коэффициента реакции уровня цен, по оси ординат — значения ставки процента.

Подводя итоги

Исследование  экономических процессов с помощью  многомерных нелинейных отображений, характеризующих динамику макроэкономических переменных, приводит к заключению, что этим процессам присущи, в зависимости от значений параметров, многообразные динамические режимы: равновесие, цикличность и достаточно сложное квазистохастическое поведение (детерминированный хаос). При относительно небольших значениях коэффициентов реакций цены и ставки процента на дисбаланс между спросом на товары и их предложением, а также коэффициентов реакции экономики на несоответствие спроса и предложения, система в перспективе ведет себя просто: со временем устанавливается либо равновесие, либо периодические колебания с малым периодом. Однако при увеличении даже одного из коэффициентов реакции происходит усложнение динамики переменных модели. Это означает, что в общем случае равновесное решение неустойчиво, а динамика переменных обобщенной макроэкономической модели может быть достаточно сложной и при некоторых значениях параметров приобретать стохастические свойства. Следует отметить, что сложный характер решений не следствие внешнего случайного воздействия, а внутреннее свойство используемой детерминированной модели.

     Более того, анализ динамики рассмотренных  моделей позволяет предположить: сложное поведение переменных (цикличность, хаотичность и др.) есть неотъемлемое свойство самой моделируемой макроэкономической системы. Поэтому использование  квазистационарного подхода к прогнозированию макроэкономики может иметь смысл лишь в том случае, когда коэффициенты реакции соответствующей динамической модели лежат в области устойчивости ее равновесного решения. Это происходит, например, при таком государственном регулировании изменений процентной ставки и уровня цен и такой реакции экономики на отклонение системы от равновесия, при которых не допускаются резкие взлеты и падения макроэкономических переменных.

     Сказанное означает, что квазистационарный  подход может быть эффективен лишь при анализе макроэкономических тенденций сложившейся, эволюционно изменяющейся экономики, в которой действуют механизмы государственного регулирования, направленные не только на стимулирование спроса, но и на устранение отклонений макроэкономической системы от траектории эволюционного развития. По-видимому, лишь в этом случае можно говорить об “автоматическом действии” равновесных рыночных механизмов, которые, как и “невидимая рука” А. Смита, обеспечивают устойчивость равновесия макроэкономических рынков.

Литература

1. Крылов А.Н. Прикладная математика и ее значение для техники. М.; Л., 1931. С.6.

2. Блауг М. Экономическая мысль в ретроспективе. / Пер. с англ. М., 1994. С.277.

3. Капица П.Л. Эксперимент, теория, практика: Статьи и выступления. М., 1987. С.417.

4. Маршалл А. Принципы экономической науки / Пер. с англ. М., 1993. Т.1. С.49—50.

5. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М., 1997.

6. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М., 1996.

7. Тихомиров Н.П., Райцин В.Я., Гаврилец Ю.Н., Спиридонов Ю.Д. Моделирование социальных процессов.  
М., 1993.

8. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М., 1997.

9. Кейнс Дж. М. Избранные произведения / Пер. с англ. М., 1993.