Компьютерное моделирования рыночных механизмов

Неудивительно, что эта универсальная методология, возникшая сравнительно недавно  и хорошо зарекомендовавшая себя в естествознании, стала проникать  в традиционно гуманитарные науки, и в первую очередь в экономику.

     Сложность поведения динамической системы  обусловлена ее нелинейностью и  многомерностью. Однако сложное и  даже хаотичное (квазистохастическое) поведение могут демонстрировать  и простейшие одномерные системы с дискретным временем, свойства которых описываются рекуррентными соотношениями нелинейных точечных отображений. Рассмотрим обобщенную динамическую макроэкономическую модель Кейнса—Фридмена, которая подробно описана в моей монографии [8].

Об  устойчивости рыночных механизмов

     Классическая  теория вплоть до первых десятилетий  ХХ в. служила достаточно хорошо и  для понимания макроэкономических процессов, и для обоснования  государственной экономической политики. Общий принцип экономического поведения государства был сформулирован в виде принципа нейтральности по отношению к экономической деятельности частных лиц — как физических, так и юридических. Согласно этому принципу, государство должно было минимизировать неблагоприятные экономические последствия своей собственной деятельности и воздерживаться от непосредственного влияния на принятие решений субъектов, действующих в условиях конкуренции. Следовательно, задача государства в области экономической политики заключалась в обеспечении условий функционирования конкурентного рынка, при этом государственный бюджет должен был постоянно ориентироваться на равенство доходов и расходов.

     Однако  классическая теория не могла дать объяснений многих проблем, возникших после первой мировой войны, и особенно во время экономического кризиса 30-х годов. Так, например, в соответствии с ней вынужденная безработица не должна была иметь места в Великобритании в 1931—1935 гг. Между тем в этот период безработица там ни разу не опускалась ниже 20%. Для объяснения новых экономических проблем делались различные попытки усовершенствовать теорию, но лишь теория английского экономиста Дж.М.Кейнса, утверждавшего, что экономика не может существовать на основе саморегулирования и что государство должно взять на себя задачу управления экономическими процессами, получила наибольшее признание.

     Эта задача, по Кейнсу, сводилась главным  образом к тому, чтобы поддерживать и стимулировать спрос, для чего необходимо создавать условия, при которых товаропроизводителям было бы выгодно делать инвестиции и расширять производство, увеличивая количество рабочих мест и тем самым сокращая безработицу. В короткий срок после опубликования Кейнсом своей теории [9] его идеи были приняты самыми широкими кругами специалистов, а экономическая политика почти всех западных стран стала опираться на анализ соответствующих моделей.

     Надо  сказать, что кейнсианская теория совокупного спроса довольно сложна, поскольку включает практически все агрегированные макропоказатели — как денежные, так и реальные. Основным допущением этой теории служит гипотеза: “Спрос создает предложение”. Эта броская, а потому и хорошо запоминающаяся формула — по существу выражение другого, менее выразительного предположения, согласно которому “предпринимателям выгодно расширять производство (и следовательно, увеличивать предложение) при наличии избыточного спроса”. Сказанное означает, что в теории Кейнса заложено условие, согласно которому национальная экономика обладает потенциалом для расширения производства (например, имеется резерв рабочей силы, оборудования, материалов и т.д.). К сожалению, модель Кейнса часто применяется для обоснования путей перехода России к рынку, хотя ее основополагающее допущение заведомо не выполняется, и, следовательно, модель никакого отношения к реальной ситуации не имеет.

     Гипотеза  “спрос создает предложение” позволяет  построить целую систему моделей, объясняющих функционирование рыночной экономики. Рассмотрим в качестве примера упрощенный вариант кейнсианской модели, который тем не менее дает наглядное представление о действии рыночных механизмов. В этой модели, которую часто называют также моделью мультипликатора, анализируется один макроэкономический рынок — рынок товаров и услуг, а состояние всей экономики описывается двумя переменными. Первая переменная Y_S — произведенный национальный доход, используемый на потребление и накопление. Эта переменная трактуется как предложение товаров и услуг. Вторая переменная Y_D — совокупный спрос на товары и услуги; она представляет собой сумму двух составляющих: спроса на инвестиции I и спроса на текущее потребление C:

Y_D = I + C.                                                     (1)

     Существенным  допущением модели является то, что  спрос на текущее потребление  C есть возрастающая функция национального дохода: C = C(Y_S). При этом считают, что спрос изменяется медленнее, чем национальный доход, вследствие чего производная функции потребления C'(Y_S) — так называемая предельная склонность к потреблению — удовлетворяет условию 0 < C'(Y_S) < 1.

В дальнейшем для  упрощения анализа модели примем, как обычно, что спрос на текущее  потребление C изменяется по линейному закону:

C(Y_S)= a + cY_S,                                             (2)

где а и c — положительные константы (поскольку здесь C'(Y_S) = c, то 0 < c < 1).

     Пусть до некоторого момента времени  T экономика находилась в состоянии равновесия, т.е. при t < T совокупный спрос был равен предложению: Y_D(t) = = Y_S(t). Что произойдет, если по какой-либо причине в момент T совокупный спрос увеличится (например, за счет роста спроса на инвестиции)?

Логика упрощенной (канонической) модели Кейнса, используемой для получения ответа на этот вопрос, такова. Во-первых, с увеличением спроса на инвестиции произойдет смещение линии совокупного спроса, вследствие чего система будет характеризоваться новым состоянием равновесия. Во-вторых, рост совокупного спроса приведет (в результате действия гипотезы Кейнса “спрос создает предложение”) к увеличению предложения. Увеличившемуся предложению (национальному доходу), вызванному ростом производства товаров и услуг, соответствует увеличившееся значение совокупного спроса. Но так как предельная склонность к потреблению меньше единицы, разность между спросом и предложением сокращается. Эту разность E = Y_D – Y_S называют избыточным спросом на товары и услуги. Таким образом, положительный избыточный спрос на товары и услуги вызывает в каждый последующий момент времени рост их предложения, что приводит к сокращению избыточного спроса. Точно так же, если избыточный спрос отрицателен, происходит сокращение национального дохода.

     При формализации описанного механизма  в упрощенной модели Кейнса обычно исходят из того, что национальный доход в момент t+1 равен совокупному спросу в предыдущий момент t, т.е.

Y_S(t+1) = Y_D(t),                                 (3)

где t = T, T + 1, ј

     Математики  говорят, что уравнение (3) задает итерационный процесс (одномерное отображение). Возникает вопрос, приведет ли этот процесс к новому равновесному значению национального дохода Y_E? Для получения ответа удобно ввести новую переменную y_t = Y_S (t) – Y_E , которая равна отклонению текущего значения национального дохода от его нового равновесного значения Y_E. Можно показать, что динамика этой переменной в силу уравнений (1), (2) и (3) описывается формулой геометрической прогрессии:

y_t+1 = cy_t.                                          (4)

     А поскольку предельная склонность к потреблению удовлетворяет условию 0 < с < 1, то, как известно из школьного курса алгебры, уравнение (4) задает бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, вследствие чего y_t ® 0 при t ® Ґ. Поэтому национальный доход Y_S(t) устремляется к своему новому равновесному значению Y_E.

     Рассмотренная нами динамика национального дохода носит название “мультипликативный процесс”. Графически этот процесс  изображается в виде ломаной линии  с помощью так называемого  креста Самуэльсона—Хансена (рис.1). Здесь  линия Y = Y_S (биссектриса координатного угла) является графиком функции предложения, а линия Y = Y_D(Y_S), где Y_D(Y_S) = C(Y_S) + I — графиком функции совокупного спроса.

Рис.1. Мультипликативный процесс. Сначала спрос характеризовался прямой Y = Y_D, и система находилась в состоянии равновесия A. Затем спрос вырос (прямая Y = Y_D), и в результате итерационного процесса (соответствующие переходы показаны цветом) система перешла в новое состояние равновесия B.

     Итак, действие гипотезы “спрос создает  предложение” приводит макроэкономическую систему (в данном случае рынок товаров и услуг) к новому состоянию равновесия. Поэтому в методологическом плане упрощенная модель Кейнса используется в экономической теории для демонстрации тезиса о действии рыночных механизмов, приводящих систему в состояние равновесия, если товаропроизводителям выгодно делать инвестиции и расширять производство при наличии избыточного спроса. Напомним, что ключевая гипотеза Кейнса “спрос создает предложение” выражает действие именно этого механизма.

     Упрощенная  модель Кейнса, изложенная в таком  виде практически во всех учебниках  макроэкономики, формирует у читателей  убеждение, что макроэкономическая система всегда устойчива в указанном  выше смысле и любое изменение  точки равновесия связано в конечном итоге со смещением функции спроса. Оказывается, однако, что одного действия рассмотренного механизма недостаточно: новое состояние равновесия, как мы увидим дальше, может и не наступить.

Рождение  хаоса

     Статистические  данные, характеризующие динамику национальной экономики, говорят о неравномерности развития: темпы экономического роста изменяются во времени. Открытие Кондратьевым “длинных волн экономики” (об этом свидетельствуют периодические спады и подъемы темпов роста макроэкономических показателей приблизительно через каждые 50 лет) дало импульс для развития теории циклов, в результате чего в экономической теории были разработаны разнообразные модели, обладающие свойством цикличности. К их числу относится, например, модель Самуэльсона—Хикса, в которой колебания национального дохода объясняются единственной причиной — колебаниями совокупного спроса. Однако действие гипотезы Кейнса может и без дополнительных допущений приводить к циклической, а то и хаотической динамике переменных.

     В качестве примера рассмотрим следующую модификацию упрощенной модели Кейнса, для построения которой снова вернемся к ее ключевой гипотезе. Как было сказано, традиционная, более того — общепринятая трактовка этого принципа формализуется с помощью уравнения (3). Однако из гипотезы Кейнса вовсе не следует, что значение предложения (национального дохода) в каждый последующий момент времени должно быть равно значению спроса в предыдущий момент. Строго говоря, она определяет лишь направление изменения национального дохода, поэтому более последовательной и общей является такая ее формализация: знаки приращений национального дохода и избыточного спроса совпадают. В этом случае рост национального дохода происходит, если спрос выше предложения, а снижение национального дохода — если спрос ниже предложения. Такому условию удовлетворяет не только рассмотренная модель, но и следующее, уже нелинейное, одномерное отображение:

Y_S(t+1) = Y_S(t)exp{g[Y_D(t)–Y_S(t)]},                                    (5)

где g > 0 — коэффициент реакции экономики на дисбаланс между спросом и предложением. Уравнение (5) может быть сведено чисто формально к уравнению Риккера, задающему итерационный процесс:

y_t+1 = Ay_texp(–y_t).                                                             (6)

Здесь y_t = qY_S (t), где q = g(1 – c), A = exp(qY_E).

     Уравнение Риккера (6) впервые было использовано в математической биологии при анализе  динамики популяций. Оно обладает свойством  бифуркации удвоения периода, которое  заключается в следующем: при  сравнительно малых значениях бифуркационного параметра A равновесное решение уравнения устойчиво; при увеличении этого параметра равновесие нарушается — возникают циклы периода 2, 4, 8 и т.д., а при еще больших значениях бифуркационного параметра наступает детерминированный хаос. Это хорошо видно на рис.2 и рис.3 (слева), где итерационный процесс (6) изображен на плоскости при различных значениях бифуркационного параметра A с использованием графиков функций y = xAe^–x и y = x. Здесь используется тот же прием, что и при рассмотрении динамики национального дохода в упрощенной модели Кейнса (см. рис.1).

Рис.2. Динамическая спираль — циклы периода 2 (слева) и 4. Здесь со временем устанавливаются циклы: переменная y_t принимает последовательно значения y₁ и y₂  (в первом случае) или значения y₁, y₂, y₃ и y₄ (во втором). Переходы при итерационном процессе показаны цветом.