Анализ среднемесясячных доходов населения

,

которую сравнивают с табличным значением  , где a- уровень значимости, u=n-2 –число степеней свободы.  Если t_расч>t_табл, то принимаем гипотезу о наличии и существенности связи. В противном случае принимаем гипотезу об отсутствии связи. В случае, когда корреляция между фактором и откликом незначима, показатель х не включают в уравнение регрессии.

      Кроме этого, следует помнить, что для  адекватности оценивания связи между  х и у необходимо, чтобы они:  

      -были  случайными;

      -имели  совместное нормальное распределение.

Иначе имеет место ложная корреляция, т.е. на одну из величин влияет некоторый  случайный неучтенный фактор.

      Если  связь между случайными величинами значима и выборка произведена  из нормальной генеральной совокупности, то доверительный интервал истинного значения коэффициента корреляции определяют для больших выборок как:

                 , где u_a- критическая граница для нормального распределения, соответствующая уровню значимости a, n- объем выборки. Для небольшого объема выборки вместо u_a используют t_a,n- статистику Стьюдента.

      Коэффициент корреляции достаточно точно оценивает  степень тесноты связи лишь в  случае наличия линейной зависимости. При наличии же нелинейной зависимости он недооценивает степень тесноты и может быть даже равен 0. В таких случаях мерой связи является выборочное корреляционное отношение:

             , где  - значения, полученные с помощью подстановки в уравнение парной линейной регрессии м/у у и х.

       , т.е.  корреляционное отношение оценивает наличие и силу. Кроме этого h_xy¹h_yx , т.е. не является симметричным. Значения парного коэффициента корреляции и корреляционного отношения по модулю совпадают, если расчетные значения зависимой переменной получены по линейной регрессии. Когда связь между переменными уклоняется от линейной формы, то h и r несколько отличаются по величине, причем h всегда больше r  по модулю. 
 

      1.3.  Множественная и частная корреляция.

      В реальных экономических ситуациях  парные взаимосвязи подвергаются влиянию  со стороны других случайных величин, поэтому необходимо включать в исследование вычисление коэффициентов множественной  и частной корреляции.  Для  этого анализу подвергают корреляционную матрицу:

              

 которая  позволяет выделить статистически  значимые взаимосвязи между переменными.

      Чтобы оценить связь между i-м фактором и всем набором остальных рассчитывается выборочный множественный коэффициент корреляции:

             ,

где Q - определитель корреляционной матрицы,

      Q_ii - алгебраическое дополнение корреляционной матрицы.

Этим  коэффициентом фиксируется наличие  и сила связи, т.к. . Стоит отметить и то, что величина R_i выше любого парного или частного коэффициента корреляции, а присоединение каждой новой предсказывающей переменной не может уменьшить величину R_i.

      Для определения доли вариации исследуемого фактора, объясненной поведением остальных  факторов, рассчитывается выборочный коэффициент детерминации: .

      Как и в случае с парной корреляцией  необходима проверка на статистическую значимость, которая в данном случае проводится с помощью статистики Фишера.

      Гипотеза  Н₀: R_i=0; Н₁: R_i¹0.

      Расчетное значение статистики Фишера имеет вид:

            

Сравнивая его с табличным значением  , делаем выводы: если Fр>Fт, то связь есть и она значима, в противном случае принимаем гипотезу Н₀ об отсутствии связи между i-м фактором и набором р-1 факторов.

      При наличии в исследовании нескольких случайных величин на величину r_xy влияние могут оказывать прочие факторы. Для устранения такого влияния необходимо получить точечную оценку между х и у (т.е. очищенную от влияния прочих факторов)- выборочный частный коэффициент корреляции: 

             , где 1…р  – факторы, влияние которых  отсекается.

       , т.е.  коэффициент характеризует тесноту, наличие и направление связи.

      Процедура проверки на значимость аналогична предыдущим. Используя статистику Стьюдента и принимая за гипотезу Н₀ утверждение об отсутствии связи, а за гипотезу Н₁- о наличии, имеем:

             , которое  сравниваем с t_табл с параметрами: a и n=n-p.

Н₁ принимается в случае превышения t_расч над t_табл. Если же t_расч<t_табл, то принимаем гипотезу об отсутствии связи. Причины незначимости выборочных коэффициентов могут быть:

• недостаточный объем выборки;
• неверный выбор формы связи между случайными величинами;
• наличие не включенных в исследование факторов, но существенно воздействующих на исследуемые показатели;
• отсутствие связи вообще.

 

1.4.  Мультиколлинеарность.

Еще одной  важной предпосылкой корреляционного  анализа является независимость  включаемых в исследование факторов друг от друга, т.к. наличие тесной связи между ними свидетельствует о том, что они характеризуют одни и те же стороны изучаемого явления и в значительной мере дублируют друг друга. Такое явление получило название мультиколлинеарности.

Проявление  мультиколлинеарности  в явной  форме подразумевает, что между факторными признаками существует функциональная зависимость, т.е. (присутствуют линейно зависимые столбцы). Это является одной из предпосылок регрессионного анализа, который рассматривается далее. В случае мультиколлинеарности некорректным является использование МНК, т.к. оценки параметров уравнения регрессии будут содержать систематические ошибки, и оценка значимости по t-критерию не будет иметь смысла.

Следствием  мультиколлинеарности является:

• резкое падение точности параметров, получаемых с помощью МНК;
• неустойчивость выборочных характеристик;
• невозможность содержательного прогноза;
• отсутствие смысла содержательной интерпретации регрессионных зависимостей.

Наличие мультиколлинеарности можно определить по ряду признаков:

• небольшие изменения данных приводят к существенному изменению оценок параметров;
• коэффициенты уравнения регрессии имеют большие стандартные ошибки и высокий уровень значимости, при этом построенное уравнение характеризуется высоким коэффициентом детерминации и высоким совместным уровнем значимости факторных переменных;
• коэффициенты в уравнении регрессии имеют неверный знак или неправдоподобную величину.

Кроме визуальных критериев наличия мультиколлинеарности существует формальные, один из которых - критерий .

Гипотезы: Н₀: мультиколлинеарности между объясняющими переменными нет;

            Н₁: мультиколлинеарность есть.

Для проверки строится величина расчетного значения :

       , где Q- определитель корреляционной матрицы

Сравниваем  с табличным значением  _табл( ,a). Если _расч> _табл, то принимаем гипотезу о наличии мультиколлинеарности.

Однако  мультиколлинеарность может быть устранена. Наиболее распространенными методами устранения являются пошаговые процедуры последовательного присоединения (удаления) факторов и смешанная процедура последовательного присоединения (удаления).

Последняя группа методов  заключается в последовательном анализе факторных переменных на этапе анализа корреляционной матрицы: если известно, что между двумя факторами есть мультиколлинеарность, один из них необходимо удалить из рассмотрения. Оставляем, как правило, наиболее адекватный с экономической точки зрения фактор, либо имеющий максимальный  r_xy . 

      1.5.  Регрессионные зависимости.

Изучение  корреляционных зависимостей основывается на исследовании таких связей между переменными, при которых значения зависимой переменной изменяются в зависимости от того, какие значения принимает другая переменная, рассматриваемая как причина по отношению к зависимой. В экономике регрессионный анализ имеет достаточно широкое применение. К задачам анализа:

• установление формы зависимости;
• оценка модельной функции или уравнения регрессии;
• прогноз неизвестных значений зависимой переменной по модельному уравнению регрессии.

В случае парной регрессионной зависимости  имеем:

,

где f(x)- детерминированная составляющая регрессионной модели, которая отражает воздействие на зависимую переменную всех существенных факторов и фактически описывает поведение условного среднего у.

 e-случайная составляющая, отражающая совокупное влияние всех случайных факторов.  

      1.6.  Регрессионный анализ.

Ранее уже упоминалась одна из предпосылок регрессионного анализа (отсутствие мультиколлинеарности). Рассмотрим остальные, которые сформулированы в теореме Гаусса-Маркова:

1. Зависимые переменные y_i , e_i- случайные величины, в то время как x_i не является случайной.
2. Случайная составляющая  и переменная у распределена по нормальному закону с параметрами М(e_i)=0, D(e_i)=D(y_i)=s²
3. Отдельные наблюдения у_i , y_j  и e_i , e_j  некоррелированны между собой, т.е.

 

1.7.  Парная линейная регрессия.

В случае парной линейной регрессии зависимость результирующего признака представлена от одного фактора. Теоретическое уравнение имеет вид: , где b₀, b₁ – параметры генерального уравнения. Выборочное уравнение имеет вид: , где b₀, b₁ –оценки параметров, полученные из выборки, причем b₀ –величина, которая выравнивает размерность между зависимой переменной у и х, а  b₁ –оценка, показывающая, на сколько изменится значение у при изменении х на еденицу. На основе имеющихся наблюдений необходимо подобрать наилучшие по определенному критерию  оценки.