Задачи по "Экономической теории"

    

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

    Проверка  значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t–статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

    

    

    

    

    

    Затем расчетные значения сравниваются с табличными t_табл.=2,31. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости a (0,05)

    Если  расчетное значение t-критерия с  (n - 2) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым.

    В нашем случае коэффициент a регрессии незначим, коэффициент b регрессии значим. 

    

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

 

    Определим линейный коэффициент парной корреляции по формуле:

    

    Рассчитаем  коэффициент детерминации:

    

    Вариация  результата Y (объема выпуска продукции) на 99,2 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений). 

    Оценку  значимости уравнения регрессии  проведем с помощью F-критерия Фишера:

    

 

      для 

    Уравнение      регрессии       с вероятностью 0,95 статистически    значимое, т.к. F  >  F_табл. 

    Определим среднюю относительную ошибку:

    

    В среднем расчетные значения Y для линейной модели отличаются от фактических значений на 2,14% 

    

6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

    Прогнозное  значение показателя, если прогнозное значение фактора составит 80% от его максимального значения:

    

    

 

    Интервальный  прогноз: 

    

    

      для  10 – 2 = 8 степеней свободы и уровня значимости 0,1 равно 1,86.

    Тогда

    

    

    

 

    

7. Представим графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

    

 

     

    Таблица 1.1. 

 

    

8. Составим уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;
• показательной.

    Приведем графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найдем коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравним модели по этим характеристикам и сделаем вывод. 

 

    Построение  степенной модели парной регрессии 

    Уравнение степенной модели имеет вид:

    

.

    Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: 

    

 

 

    Обозначим .

Тогда уравнение примет вид: Y=А + b X — линейное уравнение регрессии.

    Рассчитаем  его параметры, используя данные таблицы 1.2.

    Уравнение регрессии будет иметь вид:  Y = 0,318 + 1,026X.

    Перейдем  к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения.

    

 

    Получим уравнение степенной модели регрессии: 

    

. 

    Определим индекс корреляции:

    

    Связь между показателем у и фактором х  достаточно сильная. 

    Коэффициент детерминации равен:

    

0,992

    Вариация  результата Y (объема выпуска продукции) на 99,2% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений). 

    Рассчитаем  F-критерий Фишера: 

    

 

     , следовательно, уравнение регрессии с  вероятностью 0,95 статистически   значимое.  

    Средняя относительная ошибка: 

    

 

    В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 2,107%.

 

     

    Таблица 1.2. 

 

    

 

    Построение  показательной функции 

    Уравнение показательной кривой:  у =ab^x.

    Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого  осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

    lg

= lg a + х lg b.

    Обозначим: Y = lg , В = lg b, A = lg a. Получим линейное уравнение регрессии: Y = А + В х.

    Рассчитаем  его параметры, используя данные таблицы 1.3

    Уравнение будет иметь вид:  Y = 1,463 + 0,012X.

    Перейдем  к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:

    ŷ =10^1,463(10^0,012)^x

    

29,04*1,028^x

    Определим индекс корреляции:

    

    Связь между показателем у и фактором x:  сильная. 

    Коэффициент детерминации: R² = 0,972.

    Вариация  результата Y (объема выпуска продукции) на 97,2% объясняется вариацией фактора X(объемом капиталовложений). 

    Рассчитаем  F-критерий Фишера:

    

     , следовательно, уравнение     регрессии с   вероятностью  0,95 статистически значимое. 

    Средняя относительная ошибка

    

    В среднем расчетные значения для показательной модели отличаются от фактических значений на 4,253%.

 

     

    Таблица 1.3