Сопротивление материалов

ВВЕДЕНИЕ

Сопротивление материалов — наука о прочности, жесткости, устойчивости элементов конструкций и деталей машин. В курсе сопротивления материалов изучаются методы расчета на прочность, жесткость, устойчивость.

Под прочностью понимается способность сопротивляться разрушению под действием приложенных внешних сил (нагрузок). Способность элементов конструкций и деталей машин сопротивляться деформированию называется жесткостью. При заданных нагрузках деформации не должны превышать значений, устанавливаемых в соответствии с требованиями в зависимости от условий работы данной конструкции. Под устойчивостью понимают способность конструкции и ее элементов сопротивляться возникновению отклонений от первоначальной формы упругого равновесия. При потере устойчивости происходит смена одной формы равновесия другой.

Сопротивление материалов базируется на ряде дисциплин, изучаемых  в техническом вузе таких, как  теоретическая механика, математика, физика, основы материаловедения. Без  знания основ этих дисциплин изучение курса сопротивления материалов будет затруднено. Сопротивление материалов можно рассматривать как введение в цикл таких учебных дисциплин как: теория упругости и пластичности, теория ползучести, строительная механика, механика грунтов, механика разрушения и др. Этот цикл имеет название «Механика деформируемого твердого тела» (МДТТ).

При изучении курса сопротивления  материалов кроме лекционных занятий проводятся практические занятия по решению задач и лабораторные работы. В течение учебного года выполняются расчетно-проектировочные работы. В лабораторном практикуме изучается экспериментальная часть курса сопротивления материалов. При выполнении лабораторных работ определяют физико-механические свойства материалов (упругие свойства, характеристики прочности и пластичности и др.), а также экспериментальным путем подтверждаются основные теоретические формулы, полученные в курсе лекций по сопротивлению материалов.

Сопротивление материалов является одной из важнейших инженерных дисциплин технического вуза. Задачей изучения курса сопротивления материалов является приобретение студентами знаний теоретических и экспериментальных основ расчетных дисциплин и навыков расчета, необходимых в последующем для разработки расчетных схем сооружений, конструкций или машин, определения возникающих усилий, напряжений, перемещений, определение опасных сечений, установления требуемых размеров элементов конструкций и деталей, входящих в состав сооружений, конструкций или машин, решение вопроса о выборе материалов при обеспечении надежности эксплуатации соответствующего объекта и экономичности, определяемой расходом материалов, при условии сохранения прочности, жесткости и устойчивости, при гарантированной долговечности.

 

РАЗДЕЛ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КУРСА

СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

 

ЛЕКЦИЯ  ПЕРВАЯ

Основные вопросы: основные гипотезы; объекты, изучаемые  в курсе сопротивления материалов; классификация сил; метод сечений; понятия о напряжениях и деформациях; расчетная схема; принцип независимости действия сил.

 

1. Основные гипотезы и объекты, изучаемые в курсе

сопротивления материалов

 

В сопротивлении материалов рассматривается идеализированное рассчитываемое тело, принимаются гипотезы о сплошном, однородном, изотропном и линейно упругом теле.

Материал конструкции  принимается однородным и сплошным, при этом не учитывается дискретная, атомистическая структура или молекулярное строение тела. Свойства материала не зависят от формы и размеров тела и одинаковы во всех точках тела. Данная предпосылка позволяет при теоретическом анализе рассматривать бесконечно малый элемент конструкции, наделять его свойствами, которыми обладает объем тела больших размеров.

Материал рассчитываемых объектов изотропен, т. е. его свойства по всем направлениям одинаковы в  отличие от свойства анизотропии, когда свойства материала в различных направлениях различны.

Материал конструкции  является идеально упругим и способен полностью восстанавливать первоначальные форму и размеры, после устранения причин, вызвавших его деформацию. Деформации материала конструкции в каждой его точке прямо пропорциональны напряжению в этой точке, т. е. справедлив закон Гука (более подробно об этом будет сказано ниже).

Реальные тела могут  отличаться от тел, обладающих свойствами сплошности, однородности, изотропности и линейной упругости. Так, например, неоднородным является бетон, состоящий из щебня, связанного цементным раствором, дерево является анизотропным материалом, свойства дерева в направлениях вдоль и поперек волокон различны. Для мельчайшего кристалла металла (для микрообъема) упругие свойства не одинаковы по различным направлениям. Однако в макрообъеме металл содержит большое число беспорядочно расположенных мелких кристаллов и считается квазиизотропным.

Поэтому является перспективной  дальнейшая разработка тех разделов механики деформируемого твердого тела, в которых рассматриваются вопросы учета реальных свойств материалов при создании методов расчета элементов конструкции. Эти вопросы исследуются на кафедре сопротивления материалов ВолгГАСА.

В сопротивлении материалов изучаются следующие объекты, которые являются элементами многих конструкций.

Брус (рис. 1.1 а) — элемент  конструкции, одно из измерений которого (длина) существенно больше двух других (его поперечных размеров). Большое место в строительстве занимают не только прямолинейные, но и криволинейные (рис. 1.1 б) брусья.

Стержень — брус с  прямолинейной геометрической осью.

Балка (рис. 1.1 в) — горизонтальный или наклонный стержень, работающий на изгиб.

Пластина (рис. 1.1 г) — плоский элемент  конструкции, отличающийся тем, что толщина ее мала по сравнению с двумя другими размерами.

Оболочка (рис. 1.1 д) — в отличие  от пластины ее внешние контуры образованы не плоскостями, а криволинейными поверхностями. Толщина оболочки также как и у пластины мала по сравнению с двумя другими размерами.

Массивное тело (рис. 1.1 е) — элемент  конструкции, основные размеры которого достаточно велики и одного и того же порядка (например: массивные фундаменты под колоннами зданий, сплошная опора моста и др.).

 

Рис. 1.1.

 

1.2. Классификация  сил

 

Все силы могут быть разделены на объемные и поверхностные. К объемным силам можно отнести силы тяжести, силы инерции и т. п.

Если внешние силы являются результатом  контактного взаимодействия тел, то они относятся к поверхностным силам.

Рис. 1.2.

 

Поверхностные силы могут быть разделены на сосредоточенные и распределенные. Сосредоточенные силы передаются на конструкцию через небольшую площадку, поэтому условно считают, что они приложены в точке (рис. 1.2 а). Сосредоточенная сила F измеряется в системе СИ в ньютонах (Н), часто в килоньютонах (1 кН = 10³ Н). Сосредоточенная пара сил (момент) измеряется в Нм, кНм (рис. 1.2 а). Распределенная нагрузка интенсивностью q может быть равномерной (рис. 1.2 б), треугольной (рис. 1.2 в) и произвольной (рис. 1.2 г). Распределенная нагрузка передается на конструкцию через определенную площадь. При расчете многих элементов конструкций распределенную по площади нагрузку заменяют нагрузкой, которая относится к единице длины. Поэтому размерность распределенной нагрузки интенсивностью q может быть или .

По времени действия на конструкцию  различают постоянные и временные нагрузки. Постоянной называют нагрузку, действующую непрерывно в течение всего срока службы сооружения, например собственный вес конструкции. Временная нагрузка имеет ограниченную продолжительность действия, например давление поезда на мост, ветровая нагрузка, вес снега и т. п.

По характеру действия нагрузки могут быть разделены на статические  и динамические. Статические нагрузки — такие нагрузки, которые не изменяются во времени или изменяются медленно так, что значениями сил инерции можно пренебречь, например, собственный вес конструкции. К динамическим нагрузкам можно отнести инерционные, циклические и ударные нагрузки. Инерционные нагрузки учитываются при значительных ускорениях. Циклические нагрузки — это нагрузки, периодически изменяющиеся во времени, например детали машин и механизмов. Ударные нагрузки возникают в том случае, когда в результате взаимодействия (соприкосновения) движущихся тел происходит резкое изменение скоростей движения, например удар падающего груза при забивании свай, наезд транспортного средства на препятствие и т. п.

 

 

1.3. Метод  сечений. Понятия о напряжениях и деформациях

 

Вопросы, рассмотренные в предыдущем параграфе, относятся к внешним силам. В то же время необходимо отметить, что между отдельными частями элементов конструкций действуют внутренние силы, определяемые силами связи между элементарными частицами тела. Эти силы обеспечивают целостность рассчитываемого элемента конструкции. Внутренними силами (или внутренними усилиями) в сопротивлении материалов называют силы взаимодействия между отдельными элементами сооружения или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил. При этом принимается гипотеза о не напряженном начальном состоянии тела. В действительности могут иметь место так называемые остаточные напряжения, возникающие еще при изготовлении материала или элемента конструкции и зависящие также от технологии изготовления элементов конструкции.

Для определения внутренних усилий применяется метод сечений. В общем случае на рассчитываемый элемент конструкции, находящийся в равновесии действует произвольная система сил (рис. 1.3 а). Мысленно проводим плоскость P (для бруса обычно проводится перпендикулярно его продольной оси) и рассекаем на две части рассматриваемый элемент (рис. 1.3 б). Левую часть мысленно отбрасываем, а правую оставляем в рассмотрении. Действие отброшенной левой части учитываем внутренними усилиями.

В общем случае произвольная система сил может быть приведена  к главному вектору  и главному моменту . Для оставленной в рассмотрении правой части изобразим пространственную систему координат. Начало координат обычно помещается в центр тяжести сечения. Ось Oz располагается перпендикулярно плоскости сечения. Об особенностях расположения координатных осей Ox и Oy при проведении расчетов будет сказано при рассмотрении вопроса о геометрических характеристиках сечения. Главный вектор можно разложить на три составляющие N, Q_x и Q_y.   N — называют продольной силой, а Q_x и Q_y — поперечными силами. Главный вектор момент можно разложить также на три составляющие M_x, M_y и M_z.   M_x и M_y являются изгибающими моментами, а M_z — крутящим моментом. В дальнейшем при изучении курса сопротивления материалов будет показано, что в общем случае сложного сопротивления внутренние усилия приводятся к N, Q_x, Q_y, M_x, M_y и M_z. Эти составляющие определяются из шести уравнений статики, составляемых для правой части (рис. 1.3 г).

 

    (1.1)

Рис. 1.3.

В том случае, когда  внутренние усилия приводятся только к продольной силе N будет иметь место простое растяжение или сжатие. Если внутренние усилия приводятся только к поперечной силе Q — сдвиг. Когда в поперечном сечении действуют изгибающие моменты M_x или M_y будет иметь место изгиб. Если возникает крутящий момент M_z, то имеет место кручение. Растяжение, сжатие, сдвиг, кручение и изгиб относятся к простейшим видам деформации.

 

На малую площадку DA в поперечном сечении действует внутренняя сила DR (равнодействующая внутренних сил на весьма малой площади). Разложим DR на две составляющие: нормальную DN, действующую перпендикулярно поперечному сечению, и DQ в плоскости сечения. Эти силы характеризуются их интенсивностями:

Рис. 1.4.

;     (1.2)

 

;     (1.3)

 

.     (1.4)

Интенсивность нормальных сил называется нормальным напряжением s (1.3), а касательных сил — касательным напряжением t (1.4). Нормальное и касательное напряжение являются составляющими полного напряжения p (1.2) в рассматриваемой точке. Полное напряжение р может быть определено также по формуле

     (1.5)

Размерность напряжений в системе СИ — паскали (Па), мегапаскали (МПа).

В технической литературе ранних изданий можно встретить  размерность напряжений или .

Это нужно иметь в  виду также при определении характеристик  прочности (подробно ниже), так как может иметь место, что шкала испытательных машин проградуирована в кгс.

Ранее при изучении теоретической  механики рассматривалось абсолютно твердое тело, что вполне достаточно для определения условия равновесия и вывода основных уравнений статики. В механике деформируемого твердого тела и, соответственно, в сопротивлении материалов изучаются, как это видно из названия МДТТ, деформируемые твердые тела. Изменение формы и размеров тела (деформации) могут возникать при приложении к рассматриваемому телу внешних сил. Может иметь место деформация тела при изменении температуры (температурная деформация).

Деформации разделяются  на упругие и остаточные. Упругими деформациями называются такие изменения формы и размеров тела, которые исчезают после удаления вызвавших их сил, и тело полностью возвращается в первоначальную форму. Те деформации, которые остаются в теле после удаления внешних сил, называются остаточными.

Если на поверхности  не деформированного тела (рис. 1.5 а) мысленно провести бесконечно малые отрезки ab и ac, длина которых dx и dy, под углом , то в деформированном состоянии точки a, b, c, переместятся в положение a', b', c'. Обозначим Ddx и Ddy изменения длины этих отрезков. Ddx и Ddy — абсолютные линейные деформации. Относительные линейные деформации e_x и e_y можно получить по

следующим формулам:

    (1.6)

 

Рис. 1.5.