Случайные погрешности измерений

 

Случайные погрешности  измерений

Описание случайных  погрешностей с помощью функций  распределения

 Случайный характер выпадения того или иного определенного результата измерения Х означает, что причины его появления настолько разнообразны, что невозможно заранее предсказать реализацию этого события. Можно говорить только в его вероятности появления при ограниченном или бесконечно большом числе измерений. Обозначая истинное значение измеряемой величины как Q, будем под символом X_i понимать результат измерения в опыте с номером i.

Задача, которая ставится перед метрологом, желающим приблизиться к истинному значению измеряемой величины Q и оценить вероятность  определенного отклонения в единичном  опыте или в серии измерений, состоит в отыскании закона распределения вероятности получения определенного результата от какого-либо аргумента, связанного с отклонением результата от истинного значения. Наиболее универсальным способом достижения этой цели является отыскание интегральных и дифференциальных функций распределения вероятности.

Под интегральной функцией распределения вероятности выпадения определенного результата во множестве повторяющихся измерений (F_x ) понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения Х в i-ом опыте окажется меньше, чем некоторое значение х, т. е.

(3.11)

где знаком Р обозначена вероятность попадания результата в интервал, записанный в фигурных скобках.

Наглядное представление  о смысле интегральной функции распределения  может быть получено если рассматривать  числовую ось 

 

на которой отложены значения аргумента х. Интегральная функция распределения численно равна вероятности того, что случайная точка X_i , в результате i-го измерения займет положение левее точки х'.

При таком определении  функция распределения F(x) не может  уменьшаться, т. е. F(x) является функцией возрастающей. При движении точки х' влево по числовой оси очевидно, что искомая вероятность будет стремиться к нулю, а при движении х' вправо функция F(x) стремится к единице. Это практически означает, что любой результат измерения попадет в какое-либо значение на числовой оси. Вероятность попадания в бесконечно малое значение х' равно нулю.

Интегральная функция  распределения имеет еще одно свойство - непрерывность. Оно выражает тот факт, что результат наблюдения может принять любое до опыта выбранное значение только с нулевой вероятностью.

На самом деле в  реальных измерениях это не совсем так. Особенно понятно это с позиций  современной квантовой теории. Квантовый (дискретный) характер изменения измеряемой величины, конечная разрешающая способность любого средства измерения, приводят к тому, что область значений измеряемой величины разбивается на ряд участков, в пределах которых данная величина постоянна или неразличима для наблюдателя. Поэтому интегральная функция распределения реально изменяется скачками на некоторое значение при переходе от одного участка числовой оси к другой.

Мы будем рассматривать  случай, когда ширина полос или  участков постоянства функции F(x) ничтожно мала и не влияет на анализ погрешностей. Итак, интегральная функция распределения вероятности получения определенного результата при измерении является непрерывной неубывающей функцией, стремящейся к нулю при х стремящимся к минус бесконечности и к единице при х стремящимся к бесконечности.

Случайную погрешность δ будем рассматривать как случайную величину, принимающую в различных опытах различные значения δ_i. Ее интегральную функцию будем рассматривать, поместив начало координат в точку х = Q, соответствующую истинному значению измеряемой величины, т. е.

(3.12)

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, называемой плотностью распределения вероятности. Обозначим дифференциальную функцию как P_x(х) или P_δ(δ) в зависимости оттого, где расположено начало координат в изменении аргумента. Обозначение х соответствует произвольному расположению начала координат, обозначение δ соответствует помещению начала координат в точку, соответствующую истинному значению измеряемой величины (x=Q, при этом δ=0).

Дифференциальная функция  распределения является производной  от интегральной функции по своему аргументу

(3.13)

График дифференциальной функции распределения часто  называют кривой распределения и  чаще всего он имеет максимум при х = Q или при δ=0

 

От дифференциальной функции распределения легко  перейти к интегральной путем  интегрирования по интервалам: , т. е.

Основным очевидным  свойством дифференциальной функции  распределения является равенство  единице площади под кривой распределения

Рассмотрим теперь физический смысл введенных понятий. Прежде всего определим вероятность  попадания результата наблюдений или  случайной погрешности в заданный интервал. Из определения интегральной функции распределения следует, что такая вероятность равна разности значений функции Г(х) на границах интервала:

Заменяя интегральную функцию  на дифференциальную, для той же вероятности получим:

или

Следовательно, вероятность  попадания результата измерения  в заданный интервал равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к оси абсцисс на границах интервала. Произведения P_δ(δ)dδ и P_x(x)dx называются элементами вероятности. Они равны вероятности того, что случайные величины примутзначения в интервалах dδ и dx.

Следующим шагом в  рассмотрении теории случайных погрешностей является определение понятия математического  ожидания результата наблюдения X, т. е.:

Важное значение имеет  понятие, именуемое дисперсией распределения  результатов измерения D[X]:

 

Дисперсия распределения случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдения и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.

Физический смысл введенных  понятий становится очевидным, если переопределить с их помощью введенные нами категории систематической и случайной погрешностей.

Систематической постоянной погрешностью называется отклонение математического  ожидания результатов измерения  от истинного значения измеряемой величины

Случайной погрешностью называется разность между результатом единичного измерения и математическим ожиданием результата

Истинное значение, как  и в предыдущих рассмотрениях, равно:

Если математическое ожидание рассматривать как абсциссу центра тяжести фигуры, заключенной  между кривой распределения и осью Ох, то дисперсия распределения является аналогом момента инерции этой фигуры относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести. Дисперсия распределения имеет размерность квадрата размерности измеряемой величины. Для удобства сопоставления в качестве определяющего параметра, характеризующего рассеяние, рассматривают арифметический корень из дисперсии, называемый средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:

С помощью оценки среднего квадратического отклонения можно  оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины ε, т. е. вероятность Р = {|δ| <ε}.

Для этого запишем  выражение для дисперсии распределения  случайной погрешности как

Если сузить пределы  интегрирования, то правая часть равенства  возрасти не может, поэтому:

При замене под интегралом на меньшую величину неравенство  может только усилиться:

 

 

Интегралы, стоящие в  скобках, есть вероятности того, что  случайная погрешность примет значения в интервалах, определяемых пределами интегрирования

Отсюда получаем окончательно:

Этот результат известен как неравенство Чебышева: вероятность  того, что результат измерения  вы идет за пределы произвольного  интервала ±ε меньше отношения дисперсии к квадрату величины этого интервала.

Полагая ε = 3 • δ_x, найдем вероятность того, что результат однократного измерения выйдет за пределы утроенного среднего квадратического отклонения, т. е. вероятность того, что случайная погрешность окажется большей 3 • δ_x

Вероятность того, что  погрешность измерения не превысит пределов Зσ соответственно составляет:

Физический смысл неравенства  Чебышева состоит в том, что оно  дает нижнюю границу для вероятности  попадания результатов измерения в наперед заданный интервал. Меньше этого значения вероятность не может быть ни при каком распределении.

Заканчивая рассмотрение характеристик функций распределения, подведем итог, состоящий в том, что  максимум математического ожидания определяет наиболее вероятное значение измеряемой величины в том случае, если разброс результатов измерений носит случайный характер. Величину этого разброса характеризует дисперсия распределения. Эти две характеристики являются наиболее употребительными, т. к. определяют наиболее близкий к истинному результат измерений и значение погрешности измерений.

В теории погрешностей иногда рассматривают так называемый третий центральный момент распределения, определяемый как

Этот момент характеризует  асимметрию или скошенность функции распределения. Чтобы получить удобную безразмерную характеристику асимметрии, вводят коэффициент асимметрии, равный отношению третьего центрального момента к кубу среднего квадратического отклонения:

Четвертый центральный  момент, определенный как

характеризует плосковершинность или островершинность кривой распределения и выражается с помощью эксцесса - безразмерной характеристики, определяемой выражением:

Равномерное распределение  случайных погрешностей

Часто при измерениях заранее известно, что возможные значения случайных погрешностей средства измерения равновероятны и лежат в пределах некоторого определенного интервала. Такое распределение называется равномерным. Значения дифференциальной функции такого распределения в определенном интервале {-α; +α] постоянны, а вне этого интервала равны нулю. Дифференциальная функция распределения случайной погрешности в этом случае имеет вид:

Такая ситуация встречается  каждый раз, когда речь идет об измерениях величины, изменяющейся порциями, квантами. В оптике это изменения энергии в пределах энергии кванта ΔЕ = hν. В электричестве это, например, изменения заряда в пределах заряда электрона е. В механике дискретность массы определяется массой одной частицы. Та же самая ситуация имеет место при измерениях прибором, разрешающая способность которого хуже, чем статистический разброс случайных значений величины. В этом случае всегда при изменениях величины меньшем, чем разрешающая способность прибора, мы получим одно и то же значение, а вероятность отклонения величины в этих пределах измерить будет невозможно.

То же самое имеет  место при измерениях размеров калибрами, т. е. концевыми мерами или скобами сфиксированными параметрами. Например, имея концевую меру в виде щупа или плитки Иогансона, мы можем рассортировать предметы только по признаку больше они по размеру номинала щупа или плитки или меньше. Поскольку калибры, щупы и плитки Иогансона являются такими же средствами измерения, как показывающие или регистрирующие приборы, в измерительной практике нужно уметь оценивать погрешности и при их использовании.

Постоянную величину С в равномерном распределении  находят из условия, что площадь  между кривой распределения и  осью абсцисс должна равняться единице, т. е.:

Уравнение для интегральной функции равномерного распределения находится из условия, что F_δ(δ) = 0 до тех пор, пока δ< -α. В пределах интервала [-α, +α]:

Это означает, что интегральная функция равномерного распределения  растет от значения F_δ(δ)=0 при δ= -α до F_δ(δ)=1 при δ=+α. При прохождении абсциссы через нуль интегральная функция равна 0,5. Окончательное выражение для интегральной функции распределения имеет вид:

Математическое ожидание случайной погрешности при равномерном  распределении легко найти из его определения:

Дисперсию случайной  равномерно распределенной погрешности можно найти по формуле:

Вероятность попадания  случайной погрешности в заданный интервал (δ₁; δ₂] при равномерном распределении равна

На графике функции  распределения эта вероятность равна заштрихованной на рисунке площади.

Если интервал изменения  δ полностью укладывается внутри интервала изменения а, то искомая  вероятность просто равна отношению  длин этих интервалов. Если интервал изменения  δ находится полностью за пределами  интервала изменения α, то вероятность  попадания случайной погрешности в интервал (δ₁; δ₂] равна нулю.

Нормальное  распределение Гаусса

В большинстве практических случаев при чисто случайных  разбросах результатов отдельных  измерений относительно истинного  значения измеряемой величины функция  распределения имеет вид, получивший название нормального распределения Гаусса.

Если причины, вызывающие отклонения результатов измерения  от истинного значения, настолько  разнообразны и многоплановы, что  невозможно выделить какую-либо доминанту, функция распределения всегда имеет вид экспоненты с определенными параметрами. К этому утверждению следует относиться как к аксиоме физики, т. е. мир устроен так, что при случайном выпадении многократных результатов повторяющихся событий функция распределения будет иметь вид экспоненты. В метрологии, как и в физике вообще, встречается достаточно много аксиом, например постоянство скорости света, корпускулярно-волновой дуализм, токи смещения в уравнениях Максвелла, принцип относительности и т. д. Аналитическую зависимость функции нормального распределения можно отнести к категории таких принципов или аксиом. В метрологии и в технике измерений получение такой зависимости неоценимо в определении достоверности, правильности и точности измерений. Предложенная Гауссом зависимость дифференциальной функции распределения результатов повторяющихся случайных событий оказалась настолько ценной, что в Германии, например, формула нормального распределения считается одним из самых крупных достижений науки.