Построение эпюр

Как легко построить  эпюру? 

 

Большинство учебников не дают на этот вопрос точного ответа и конкретных рекомендаций. Поэтому на основе своего опыта я сам выработал для  себя чёткий алгоритм построения эпюр поперечных (продольных) сил и изгибающих моментов.

Действующие нагрузки. В сопромате принято считать, что в элементах, на которые оказывается внешняя нагрузка, могут возникнуть четыре вида внутренних усилий: крутящий момент, изгибающий момент, поперечная сила, продольная сила.

Нагляднее всего действие этих нагрузок можно показать на примере деформаций. С этой целью вам необходимо найти  предмет, который вы сможете легко  разорвать и погнуть. Таким предметом  может быть кусок пластилина.

Приложим к предмету продольные усилия. При этом, разорвав предмет, мы увидим следующею картину:

Рис. 1. 

 

То есть при приложении к элементу продольной нагрузки Р, в нём начинают происходить разрушения (рис. 1 б)), наглядно показывающие, что в ответ на действующую нагрузку в элементе возникают ответные усилия N (рис. 1 в)), которые всеми силами стремятся сохранить прежнее состояние элемента до действия нагрузки (рис. 1 а)). Силы Nпринято называть – «продольные силы».

Аналогично можно представить  действие усилий, возникающих при  поперечном разрыве (рис. 2). При этом подобно силам N на рис. 1, на рис. 2 в) будут возникать силы Q, которые так же будут стремиться сохранить исходный вариант элемента (рис. 2 а)). Сила Q принято называть «поперечными силами».

Действие изгибающих моментов можно  наблюдать, если попытаться погнуть  элемент (рис 3.). Возникающие в элементе ответные моменты М, называются «изгибающие  моменты».

Соответствующие усилия, называемые «крутящие моменты», возникают при  попытке скрутить данный элемент (рис. 4).

 

 

Рис. 2. 

 

Рис. 3.

Рис. 4. 

 

Далее можно рассмотреть следующую  картину (рис. 5). Для этого один конец  элемента необходимо жёстко закрепить, а на другой конец оказать воздействие  Р. При этом для наглядности действия силы выделим в элементе характерные  сечения 1, 2, 3 (рис. 5 а)). 1 -на конце элемента, 2 -по середине элемента, 3 –в конце элемента (в жёсткой заделке). Как видно из рис. 5 б) деформация в этих сечениях будет различной. Так в сечении 1 практически не будет деформации, в сечении 2 будет наблюдаться некоторая деформация, а в сечении 3 –деформация будет значительная (элемент сломается именно в сечении 3). Последний опыт доказывает следующее:

-действующая поперечная сила  может вызывать в элементе  изгибающие моменты;

-основным деформирующим (разрушающим)  усилием является изгибающий  момент (действия продольных сил  (рис. 2) в проведённом опыте практически  не наблюдается т. к. для  данного материала они оказывают  очень малое влияние на его  деформацию).

-изгибающие моменты могут быть  не одинаковые по длине элемента. Так в сечении 1 –момент отсутствуют,  в сечении 2 –момент имеет некоторое  среднее значение, в сечении 3 –момент максимальный.

Рис. 5. 

 

Основной задачей сопромата  является установление значений изгибающих моментов, по длине какого либо нагруженного элемента. Наиболее наглядным примером отображения изменения момента  по длине балки служит «эпюра изгибающих моментов» рис. 5 в). Эпюра – это график зависимости изгибающих моментов от длины нагруженного участка элемента. Или, можно ещё сказать, что эпюра – это графическое отображение зависимости (функции) М=f(x), где x – переменная длина участка (например, если длина участка 1м, то говорят, что x изменяется от 0 до 1м или пишут  .)

Кроме того, иногда бывает необходимо знать значения поперечных или продольных сил по длине нагруженного элемента. Т. е. необходимо научится строить эпюры  поперечных сил Q и продольных сил N.

Имея перед глазами эпюры  действующих в элементе усилий можно  легко установить наибольший изгибающий момент, поперечную или продольную силу, определить наиболее нагруженное (опасное) сечение элемента в отношении  любого из усилий. И, исходя из этого, подобрать  оптимальные размеры сечения (т. е. не слишком маленькое, т. к. оно  может не выдержать нагрузки и  не слишком большое т. к. при этом будет перерасход материала). 

 

Правила построения эпюр. Задачу на построение эпюр я рекомендую разделять на две основные части:

1. Задача по теоретической механике;
2. Собственно задача по сопромату.
1. Задача по теоретической механике. Прежде всего, необходимо установить характер рассматриваемого элемента и тип его связей. В основном в сопромате строительной и теоретической механике рассматриваются следующие элементы (системы) (рис. 6): а) балка; б) рама; в) ферма.

Рис. 6.

Связи – это способы закрепления  систем в пространстве. Условно предполагается, что система крепится к земле  и (или) стене. В сопромате теор. и строй. механике рассматриваются три основных типа связей.

1)       Жёсткая опора (рис. 7 а)). При нагрузке на неё, такая опора может давать две реакции Y и X, направленные вдоль одноимённых осей.

2)       Плавающая опора (рис. 7 б)). Такая опора может давать при нагрузке только одну реакцию R, направление которой зависит от положения опоры в пространстве и всегда параллельно стержню опоры.

3)       Жёсткая заделка (рис. 7 в)). Жёсткая заделка может давать три реакции Y, X и M.

Рис. 7.

Задачей теоретической механики является определение реакций связей.

Система, если она находится в  покое, должна находиться в равновесии. Т. е. сумма сил, действующих на систему, должна быть равна нулю (рис. 8). Кроме  того должна быть равна сумма моментов, создаваемых этими силами (рис. 8).Моментом силы называется произведение силы на плечё. Плечём силы называется расстояние (перпендикулярное силе) от точки приложения силы до точки, относительно которой вычисляется момент.

Из рис. 8 легко видеть, что при  вычислении момента от силы Р₁ относительно точки 2, плечём для силы Р₁ является расстояние l.

В теоретической механике приняты  следующие правила знаков для  сил и моментов:

-если сила направлена  вверх - она положительна;

если сила направлена вниз - она отрицательна;

-если момент стремится  повернуть систему против часовой стрелки, он считается положительным;

-если момент стремится  повернуть систему по часовой стрелке, он считается отрицательным.

Рис. 8. 

 

Пример определения реакций  связей. Прежде всего, следует задаться вопросом «Зачем для того, чтобы построить эпюры усилий, возникающих в балке, определять реакции связей?». Для ответа на этот вопрос, рассмотрим нагруженную балку рис. 9.

Рис. 9. 

 

Разобьём данную балку на участки. Участком является часть балки, на которой  действующие силы не изменяются. Рассмотрим балку по ходу с лева на право. На участке 1-2 оказывает воздействие  только сила –Р (минус потому, что сила направлена вниз). Вполне очевидно, что в точке 2 участок 1-2 заканчивается т. к. в точке 2 кроме силы Р будет действовать сила Y₂ (реакция опоры 2). Таким образом на участке 2-3 действует сила, равная -P+Y₂. Участок 2-3 заканчивается в точке 3 т. к. здесь добавляется распределённая нагрузка и q и сосредоточенный момент М. Аналогично можно разбить данную балку на участки рассматривать её и с права на лево. Участки удобнее всего обозначать парой чисел, как это сделано на рис. 9. Для этого необходимо выделить характерные сечения балки (в которых происходит изменение действующих нагрузок) и обозначить их цифрами, например 1, 2, 3, 4. Тогда участки соответственно получат обозначения 1-2, 2-3, 3-4.

Для построения эпюр M, Q или N необходимо определить все действующие на систему силы. То есть необходимо определить реакции связей.

Для определения реакций связей составим уравнения равновесия сил  относительно осей x и y и уравнение равновесия моментов, относительно любой точки. Вообще для составления уравнения равновесия моментов можно выбрать любую точку балки. Однако, для упрощения решения, рекомендуется выбрать точку, в которой действует наибольшее количество неизвестных сил. В рассматриваемом примере такой точкой, очевидно, является точка 2.

Изначально нам неизвестно направление  реакций связей. Можно только сказать, что опора 2 – является жёсткой  опорой и может дать две реакции Y₂ и X₂, которые направлены вдоль осей x и y, а опора 4 – это плавающая опора, она может дать только одну реакцию R, которая может быть направлена, в данном случаи, либо вверх, либо вниз.

Выберем направление реакций связей произвольно. Пусть реакции Y₂ и R направлены вверх, а реакция X₂ -в право. Истинное направление той или иной реакции определяется при решении уравнений равновесия. Если искомая реакция получилась со знаком «-», то на самом деле она направлена в противоположную сторону, чем предполагалось. Если же знак перед реакцией окажется «+», значит направление реакции выбрано верно. 

 

Запишем уравнения равновесия:

Для составления уравнений равновесия распределённую нагрузку q необходимо заменить сосредоточенной силой Q. Сосредоточенная сила равна  , где  - длина на которой действует распределённая нагрузка. Направлена сила Q должна быть из середины центра тяжести эпюры распределённой нагрузки. Для прямоугольной нагрузки по центру, для треугольной на расстоянии 1/3 длины от основания треугольника (рис. 10). 

 

Рис. 10.

Для представления понятия распределённой нагрузки, в качестве примера, можно  рассмотреть собственный вес  балки. Т. е. в каждом элементарном сечении  балки действует, как бы маленькая  сила. В данной задаче на участке 3-4 распределённая нагрузка имеет значение 5кН/м – это фактически означает, что на каждый метр данного участка  действует сила в 5кН. 

 

Далее подставим числовые значения известных величин в уравнения  равновесия:

 

 

Очевидно, что в уравнении  только одна неизвестная  , значит, её можно вычислить:

Зная R₄ из уравнения  можно легко выразить Y₂:

Из уравнения  вполне понятно, что X₂=0. В данной задаче это было очевидно с самого начала т. к. X₂ –это единственная реакция связи вдоль оси x и действующих сил вдоль оси x нет.

При решении данных задач я рекомендую находить реакции связей, несколько  по-другому. Так как сразу понятно, чтоX₂=0, то нет никакой разницы, относительно какой опоры составлять уравнение равновесия моментов 2 или 4.

Запишем уравнения равновесия, с  учётом того, что уравнение моментов составлено относительно опоры 4:

Для решения равенства  относительно Y₂ все остальные члены равенства перенесём в правую часть (как известно при этом их знаки поменяются).

. Затем потребуется разделить  правую часть на 2м:

. Для того что бы избавиться  от «-» перед Y₂ умножим обе части равенства на -1, получим:  . Таким образом, можно не составляя уравнения равновесия моментов, сразу выразить Y₂. Принцип очень прост:

-направляем реакцию левой опоры Y₂ вверх (понятно, что создаваемый ею момент будет иметь знак «-»);

-пишем «Y₂=»;

-далее записываем значения моментов, которые вызваны остальными действующими  силами с соблюдением правил  знаков моментов в теор. механике (не забываем заменять распред. нагрузку сосредоточенной силой Q)  ;

-затем правую часть делим  на плечё силы Y₂ (в данном примере плечё равно 2м).

-в результате должно получиться  равенство:  .

-подставляем в это равенство  числовые значения, находим Y₂  .

Приобретя некоторый опыт в определении  реакций опор, можно и реакцию R находить сразу без составления уравнения  : 

Как видно из решения перед обеими реакциями связей получился знак «+», следовательно, направления реакций  выбраны верно.

2.Собственно задача по сопромату. Значения и направления реакций связей были определены ранее в «задаче по теоретической механике». На расчётной схеме необходимо точно указать истинное направление реакций связей.

Для построения эпюр Q и M достаточно следовать нижеуказанным принципам (эпюры N и M(кручение) не рассматриваем т. к. продольные усилия и крутящие моменты отсутствуют).

На каждом участке величины Q и М имеют следующие зависимости от x:

, 

 

где

 -распределённая нагрузка на  участке;

 -сосредоточенная сила в начале  участка;

 -сосредоточенный момент в  начале участка.

Фактически построение эпюр Q и M сводится к определению зависимостей Q и М от x на каждом участке. Для этого достаточно определить величины  ,   и  .

При этом в сопромате и строй. механике существуют следующие правила знаков (рис. 11):

-если сила в начале  участка стремится повернуть  участок по часовой стрелке, то данная сила положительна;

-если сила в начале  участка стремится повернуть  участок против часовой стрелки, то такая сила отрицательна.

-если момент сжимает верхние волокна участка, а нижние растягивает, то такой момент положителен;

-если момент сжимает нижние волокна участка, а верхние растягивает, то такой момент отрицателен;