Метрология и стандартизация

 

Задача  №1 

С помощью импульсного  рефлектора проводились многократные измерения в одинаковых условиях расстояния до места повреждения Li. Считая, что случайные погрешности имеют нормальный  закон распределения, определить на основании заданного количества измерений:

1) результат  измерения (среднее арифметическое  значение) Lp для заданного числа измерений;

2) среднее квадратическое  отклонение σ погрешности единичного  измерения;

3) максимальную  погрешность ∆м , принятую для  нормального закона распределения.  Провести оценку грубых погрешностей;

4) среднее квадратическое  отклонение σ lp результата измерения;

5) доверительный  интервал для результата измерения  при доверительной вероятности  Pдов

6) определить  имеется ли систематическая составляющая  в погрешности измерения, если установлено, что действительное значение расстояния до места повреждения L∂

Таблица 1.1

 

Таблица 1.2

 

Таблица 1.3

 

Решение:

 
 

Найдем (среднее арифметическое значение) Lp для заданного числа измерений:

Lp=1/n ∑ Li = 1/16* 2762,6=172,6625≈172,66  ([1] стр 67 ф 4.6)

Найдем среднее  квадратическое отклонение σ погрешности  единичного измерения:

S=(1/(n-1) ∑(Li- Lp)^2)^1/2 ([1] стр77 ф 4.16)

S=(110,7575/(16-1))^1/2=2,717320985 ≈2,72м 

Максимальная  погрешность результата наблюдений или предельно допустимая погрешность определяется по формуле:

    

∆=3*2,717320985=8,151962954≈8,2м

Найдем среднее  квадратическое отклонение σ lp результата измерения: 

σ lp= S/√n = 2,717320985/4=0,679330246 ≈0,68м ([1] стр 71 ф 4.24) 

Найдем доверительный  интервал для результата измерения  при доверительной вероятности Pдов:

Для расчета  доверительного интервала необходима формула:

([1] стр 72 ф 4.28)

  - коэффициент распределения Стьюдента

- среднее квадратическое отклонение  результата измерения

Из условия  задачи Pдов =0,92, значит =1,75 [приложение II учебника [1] страница 413].

Доверительный интервал

ε =1,75∙0,679330246 =1,188827931≈  1,19 м 

Систематическую погрешность можно найти как  отклонение результата измерения Lp от действительного значения измеряемой физической величины L∂

q = Lp - L∂ = 172,6625-171.7= 0,9625≈ 0,96 м 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  №2

В производственных условиях осуществлялись прямые измерения  индуктивности катушек L, емкости конденсатора C, сопротивления резисторов r и R, предназначенные для изготовления параллельных колебательных контуров.

Требуется найти 2∆f_0.7 если L,мкГн=22; C,пФ=163; r,Ом=25

  

 
 

 

Комплексная проводимость этой цепи имеет выражение Y=Y1+Y2 или

1/Z₁+1/Z₂=1/(r+jωL)+jωC=r/(r²+(ωL)²)-j(ωL/(r²+(ωL)²)- ωC)=g-jb

Условием резонанса  будет b=0 отсюда найдем ω₀

ω₀=(1/(LC)-r²/L²) ^½; 

Сопротивление всей цепи при этой частоте оказывается  равным

1/g=L/(rC)=ρQ где Q – добротность и ρ – волновое сопротивление равное (L/C) ^½

A=2∆f_0.7 = ω₀/Q

A=2∆f_0.7=r/L(1-Cr²/L) ^½

A=2∆f_0.7=1.131101=1.13MГц

Абсолютная погрешность:

∆A= δ·A=3,51568*1.131101=3.97659=3,98МГц

Относительная погрешность результата измерений:

δ=( δL²+ δC²+ δr²) ^½ =3,51568=3,52( [2] стр 47) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  №3

На выходе исследуемого устройства имеет место периодическое напряжение , форма которого показана на рисунке 3.1. Это напряжение измерялось пиковым вольтметром(ПВ), а также вольтметрами средневыпрямленного(СВ) и среднеквадратического (СК) значений, проградуированных в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения. Каждый из вольтметров имеет как открытый так и закрытый вход.

Требуется определить:

1. среднее Uср , средневыпрямленное Uср.в , среднеквадратическое U значения выходного напряжения заданной формы.
2. Коэффициенты амплитуды Kа и формы Kф выходного напряжения;
3. Напряжения, которые должны показать каждый из трех указанных вольтметров с открытым (ОТКР) и закрытым (ЗАКР) входом.
4. Определить относительную погрешность измерения всех вычисленных согласно п.3 напряжений, если используемые вольтметры имеют класс точности  δпр и предельные значения шкалы Uпр, указанные в таблице  3.1 и 3.2

Таблица 3.1

 

Таблица 3.2

 

 
 
 
 
 

Решение

Математическое  описание сигнала. Сигнал показанный на рисунке можно описать следующим  образом.

U(t)=Um-(Um·t/ τ) при 0 ≤ t ≤ τ

U(t)=0 при τ ≤ t ≤ T

Пиковые Um+=20В

Среднее Uср (постоянная составляющая) значение напряжения:

Uср=1/T∫₀^T(U(t)dt)= 1/T∫₀^T Um-(Um·t/ τ)dt=Um τ/2T=20/3= 6,666667В=6,667В

Средневыпрямленное Uср.в  значение напряжения:

Uср.в=1/T∫₀^T(|U(t)|dt)= 1/T∫₀^T |Um-(Um·t/ τ)|dt=|Um τ|/|2T|=20/3= 6,666667В=6,667В 

Среднеквадратическое U значение напряжения:

U=[1/T∫₀^T(U²(t)dt)]^0.5= [1/T∫₀^T (Um-(Um·t/ τ)) ²dt] ^0.5= Um [1-T/τ+ T²/3τ² ] ^0.5=10В

Связь между  указанными параметрами периодического сигнала описывается коэффициентами амплитуды K_a формы K_ф . Эти коэффициенты соответственно равны:

Ка=Um/U=20/10=2

Kф=U/ Uср.в=10/20=0.5 

Найдем Напряжения, которые должны показать каждый из трех указанных вольтметров с  открытым (ОТКР) и закрытым (ЗАКР) входом.

При отрытом  входе вольтметр измеряет весь сигнал, а при закрытом – за вычетом  постоянной составляющей, которая равна среднему значению Uср.   

Показание вольтметра U`  с преобразователем пиковых значений с закрытым входом, если вольтметры проградуированы в среднеквадратических значениях для гармонического сигнала. 

Для пикового вольтметра градуировочный коэффициент равен C₁=0,707   отсюда

U`= C₁(Um-Uп.с.)=0,707(20-6,666667)=9,42667=9,42В

Показание вольтметра U`с.в. с преобразователем средневыпрямленных значений с открытым входом, если вольтметры проградуированы в среднеквадратических значениях для гармонического сигнала.

Для  вольтметра средневыпрямленных значений, градуировочный коэффициент равен C₂=1,11   отсюда

U`с.в.= C₂ Uср.в=1,11*6,666667=7,4В 

Показание вольтметра U  с преобразователем среднеквадратических значений с закрытым входом, если вольтметры проградуированы в среднеквадратических значениях для гармонического сигнала.