Анализ линейных импульсных систем автоматического управления

Московский  Энергетический Институт

(Технический  Университет) 
 

ЦП РГИ  «МЭИ-Фесто» 
 
 

Расчетное задание по курсу: «Основы теории автоматического управления»

Анализ  линейных импульсных систем автоматического  управления.

Вариант № 32 
 
 
 
 

     Студент: 

     Группа: 

Преподаватель: Беседин В.М. 
 
 
 
 
 

Москва

2010

 

Исходная структурная схема импульсной САУ:

Тип импульсного  элемента:

  (время запаздывания); ;

Передаточные  функции, входящие в САУ:

Преобразуем исходную структурную схему к типовому виду:

Согласно упрощенной схеме, выражение для непрерывной передаточной функции разомкнутой системы будет определяться следующим соотношением:

Так как  , то .

Определим весовую  функцию для приведенной непрерывной  части САУ  . Для этого представим в виде суммы слагаемых:

Тогда:

.

Так как по условию  расчетного задания в импульсной системе существует небольшое запаздывание ( , но не равно нулю), то в выражении для дискретного преобразования Лапласа суммирование начинается не с нулевой дискреты ( ), а с первой дискреты ( ). Учитывая этот факт, получим передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:

Построим АФХ (годограф) разомкнутой импульсной САУ, для чего запишем выражение для комплексного коэффициента усиления:

.

Выделим в выражении  действительную (Re) и мнимую (Im) части, для чего необходимо преобразовать знаменатель выражения ; умножить числитель и знаменатель на комплексно–сопряженное знаменателю число; и снова осуществить преобразование

. 

Значения  и , полученные для разных , сведены в табл.1, а АФХ рассматриваемой импульсной САУ изображена на следующем рисунке.

 

Таблица 1

 

Построение годографа  по годографу производится согласно выражению:

.

Тогда годограф, построенный по приближенной формуле, и значения:

Таблица 2

 

Как видно из рисунка годографы импульсной разомкнутой системы, построенные точным и приблизительным методом совпадают.

Определим устойчивость замкнутой импульсной системы и  ее предельный коэффициент.

по  критерию Найквиста:

Так как АФХ  охватывает точку с координатами (-1,j0), то рассматриваемая САУ в замкнутом состоянии является неустойчивой.

Предельный коэффициент  определяем по соотношению:

,

где – коэффициент усиления разомкнутой САУ; – модуль комплексного коэффициента усиления при его аргументе равном –180 градусов. 

по  критерию Гурвица:

Запишем передаточную функцию дискретной САУ в замкнутом  состоянии через Z–преобразование:

.

Введем подстановку  . Тогда характеристическое уравнение принимает вид:

.

После преобразований, из последнего соотношения получим:

.

Так как характеристическое уравнение 2-го порядка имеет 2 отрицательных коэффициента, то рассматриваемая система является неустойчивой в замкнутом состоянии.

Определим . Для этого передаточную функцию разомкнутой импульсной САУ представим следующим образом:

.

Заметим, что  коэффициент усиления равен .

Тогда соответствующая  передаточная функция САУ в замкнутом  состоянии  примет вид:

.

Подставим  в  характеристическое уравнение соответствующее передаточной функции , . Тогда:

Тогда:

.

На  основе необходимого и достаточного условия  устойчивости:

Возьмем и для этого коэффициента усиления разомкнутой системы определим устойчивость замкнутой системы на основе корней характеристического уравнения.

Для получим:

.

Откуда корни  характеристического уравнения  для замкнутой системы равны:

,

Т.к. один из корней характеристического уравнения  больше нуля и выходит за радиус единичного круга, то замкнутая САУ является неустойчивой.

 

Построение переходного процесса для замкнутой импульсной САУ

Т.к. импульсная САУ при заданном коэффициенте усиления оказалась неустойчивой, то построение переходного процесса и определение статической и кинетической ошибок осуществляем для системы с коэффициентом усиления в 3 раза меньше предельного.

Тогда:

 

 

Численные значения переходного процесса в определенные моменты времени замкнутой ИСАУ 

 

 

Рассчитаем  статическую и  кинетическую ошибки замкнутой ИСАУ

Передаточная  функция системы относительно ошибки :

.

Тогда статистическая ошибка при  :

Кинетическая  ошибка имеет место, когда входной  является функция, изменяющаяся по линейному  закону:

 или  .

Дискретное преобразование Лапласа указанного сигнала

С учетом этого  кинетическая ошибка равна: