Системный анализ и моделирование экосистем

    Математические  модели, применяемые в настоящее  время в задачах исследования операций, можно грубо подразделить на два класса:

    а н а л и т  и ч е с к  и е            и          с т а т и  с т и ч е с к и е.

    Для первых характерно установление формульных, аналитических зависимостей между параметрами задачи, записанных в любом виде: алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными и т. д. Чтобы такое аналитическое описание операции было возможно, как правило, нужно принять те или иные допущения или упрощения. С помощью аналитических моделей удается с удовлетворительной точностью описать только сравнительно простые операции, где число взаимодействующих элементов не слишком велико. В операциях же большого масштаба, сложных, в которых переплетается действие огромного количества факторов, в том числе и случайных, на первый план выходит метод статистического моделирования. Он состоит в том, что процесс развития операции как бы «копируется» на вычислительной машине, со всеми сопровождающими его случайностями. Всякий раз, когда в ход операции вмешивается какой-либо случайный фактор, его влияние учитывается посредством «розыгрыша», напоминающего бросание жребия. В результате многократного повторения такой процедуры удается получить интересующие нас характеристики исхода операции с любой степенью точности.

    Статистические  модели имеют перед аналитическими то преимущество, что они позволяют учесть большее число факторов и не требуют грубых упрощений и допущений. Зато результаты статистического моделирования труднее поддаются анализу и осмыслению. Более грубые аналитические модели описывают явление лишь приближенно, зато результаты более наглядны и отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. Наилучшие результаты получаются при совместном применении аналитических и статистических моделей:

    простая аналитическая модель позволяет  вчерне разобраться в основных закономерностях явления, наметить главные его контуры, а любое дальнейшее уточнение может быть получено статистическим моделированием. 

    3. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

    ИССЛЕДОВАНИЯ  ОПЕРАЦИИ. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ  СЛУЧАЙ

    Рассмотрим  задачу исследования операций в общей  постановке, безотносительно к виду и цели операции.

    Пусть имеется некоторая операция 0, т. е. управляемое мероприятие, на исход которого мы можем в какой-то мере влиять, выбирая тем или другим способом зависящие от нас параметры. Эффективность операции характеризуется каким-то численным критерием или показателем W, который требуется обратить в максимум (случай, когда его требуется обратить в минимум, сводится к предыдущему и отдельно не рассматривается).

    Предположим, что тем или иным способом математическая модель операции построена; она позволяет вычислить показатель эффективности W при любом принятом решении, для любой совокупности условий, в которых выполняется операция.

    Рассмотрим  сначала наиболее простой случай: все факторы, от которых зависит  успех операции, делятся на две  группы:

    — заданные, заранее известные факторы (условия проведения операции) а1, а2..., на которые мы влиять не можем;

    — зависящие от нас факторы (элементы решения) х1, х2, ..., которые мы, в известных пределах, можем выбирать по своему усмотрению.

    Этот  случай, в котором факторы, влияющие на исход операции, либо заранее известны, либо зависят от нас, мы будем называть детерминированным.

    Заметим, что под «заданными условиями» операции а1,а2 ... могут пониматься не только обычные числа, но и функции, в частности— ограничения, наложенные на элементы решения. Равным образом, элементы решения х1, х2, ... также могут быть не только числами, но и функциями.

    Показатель  эффективности W зависит от обеих групп факторов:

    как от заданных условий, так и от элементов  решения. Запишем эту зависимость в виде общей символической формулы:

    W=W(a1, а2,... х1, х2,...).                (3.1)

    Так как математическая модель построена, будем считать, что зависимость (3.1) нам известна, и для любых а1, а2 ...; х1, х2, ... мы можем найти W.

    Тогда задачу исследования операций можно  математически сформулировать так:

    При заданных условиях а1, а2, ... найти такие элементы решения х1, х2, ..., которые обращают показатель W в максимум.

    Перед нами — типично математическая задача, относящаяся к классу так называемых вариационных задач. Методы решения таких задач подробно разработаны в математике. Простейшие из этих методов («задачи на максимум и минимум») хорошо известны каждому инженеру. Для нахождения максимума или минимума (короче, экстремума) функции нужно продифференцировать ее по аргументу (или аргументам, если их несколько), приравнять производные нулю и решить полученную систему уравнений.

    Однако, этот простой метод в задачах  исследования операций имеет ограниченное применение. Причин этому несколько.

    1. Когда аргументов х1, х2, ... много (а это типично для задач исследования операций), совместное решение системы уравнений, полученных дифференцированием основной зависимости, зачастую оказывается не проще, а сложнее, чем непосредственный поиск экстремума.

    2. В случае, когда на элементы решения х1, х2, ... наложены ограничения (т. е., область их изменения ограничена), часто экстремум наблюдается не в точке, где производные обращаются в нуль, а на границе области возможных решений. Возникает специфическая для исследования операций математическая задача «поиска экстремума при наличии ограничений», не укладывающаяся в схему классических вариационных методов.

    3. Наконец, производных, о которых идет речь, может вовсе не существовать, например, если аргументы х1, х2, ... изменяются не непрерывно, а дискретно, или же сама функция W имеет особенности.

    Общих математических методов нахождения экстремумов функций любого вида при наличии произвольных ограничений  не существует. Однако для случаев, когда функция и ограничения обладают определенными свойствами, современная математика предлагает ряд Специальных методов. Например, если показатель эффективности W зависит от элементов решения х1, х2, ... линейной ограничения, наложенные на х1, х2, ..., также имеют вид линейных равенств (или неравенств), максимум функции W находится с помощью специального аппарата, так называемого линейного программирования. Если эти функции обладают другими свойствами (например, выпуклы или квадратичны), применяется аппарат «выпуклого» или «квадратичного» программирования, более сложный по сравнению с линейным программированием, но все же позволяющий в приемлемые сроки найти решение. Если операция естественным образом расчленяется на ряд «шагов» или «этапов» (например, хозяйственных лет), а показатель эффективности W выражается в виде суммы показателей Wi, достигнутых за отдельные этапы, для нахождения решения, обеспечивающего максимальную эффективность, может быть применен метод динамического программирования.

    Если  операция описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а управление, меняющееся со временем, представляет собой некоторую функцию x(f), то для нахождения оптимального управления может оказаться полезным специально разработанный метод Л. С. Понтрягина.

    Таким образом, в рассматриваемом детерминированном  случае задача отыскания оптимального решения сводится к математической задаче отыскания экстремума функции W; эта задача может быть весьма сложной (особенно при многих аргументах), но, в конце концов, является вычислительной задачей, которую, особенно при наличии быстродействующих ЭЦВМ, удается, так или иначе, решить до конца. Трудности, возникающие при этом, являются расчетными, а не принципиальными. 

    4. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

    В предыдущем параграфе мы рассмотрели  самый простой, полностью детерминированный случай, когда все условия операции а1,  а2, ... известны, и любой выбор решения х1, х2,... приводит к вполне определенному значению показателя эффективности W.

    К сожалению, этот простейший случай не так уж часто встречается на практике. Гораздо более типичен случай, когда не все условия, в которых будет проводиться операция, известны заранее, а некоторые из них содержат элемент неопределенности. Например, успех операции может зависеть от метеорологических условий, которые заранее неизвестны, или от колебаний спроса и предложения, заранее трудно предвидимых, связанных с капризами моды, или же от поведения разумного противника, действия которого заранее неизвестны.

    В подобных случаях эффективность  операции зависит уже не от двух, а от трех категорий факторов:

    — условия выполнения операции а1, а2, ..., которые известны заранее и изменены быть не могут;

    — неизвестные условия или факторы Y1, Y2, ... ;

    — элементы решения х1, х2, ..., которые нам предстоит выбрать. Пусть эффективность операции характеризуется некоторым показателем W, зависящим от всех трех групп факторов. Это мы запишем в виде общей формулы:

    W=W(a1, а2,...; Y1, Y2,...; х1, х2,...).

    Если  бы условия Y1, У2, ... были известны, мы могли бы заранее подсчитать показатель W и выбрать такое решение х1, х2, ..., при котором он максимизируется. Беда в том, что параметры Y1,Y2, ... нам неизвестны, а значит, неизвестен и зависящий от них показатель эффективности W при любом решении. Тем не менее задача выбора решения по-прежнему стоит перед нами. Ее можно сформулировать так:

    При заданных условиях а1, а2,…, с учетом неизвестных факторов Y1, y2, ... найти такие элементы решения х1, х2, ..., которые по возможности обращали бы в максимум показатель эффективности W.

    Это — уже другая, не чисто математическая задача (недаром в ее формулировке сделана оговорка «по возможности»). Наличие неизвестных факторов Y1, Y2, ... переводит нашу задачу в другую категорию' она превращается в задачу о выборе решения в условиях неопределенности.

    Давайте будем честны: неопределенность есть неопределенность. Если условия выполнения операции неизвестны, мы не имеем возможности, так же успешно организовать ее, как мы это сделали бы, если бы располагали большей информацией. Поэтому любое решение, принятое в условиях неопределенности, хуже решения, принятого во вполне определенной ситуации. Наше дело — сообщить своему решению в наибольшей возможной мере черты разумности. Решение, принятое в условиях неопределенности, но на основе математических расчетов, будет все же лучше решения, выбранного наобум. Недаром один из видных зарубежных специалистов — Т. Л. Саати в книге «Математические методы исследования операций» дает своему предмету следующее ироническое определение:

    «Исследование операций представляет собой искусство  давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».

    Задачи  о выборе решения в условиях неопределенности встречаются нам в жизни на каждом шагу. Пусть, например, мы собрались ехать в отпуск, взяв с собой чемодан ограниченного объема, причем вес чемодана не должен превышать того, при котором мы можем носить его без посторонней помощи (условия а1, а2, ...). Погода в районах путешествия заранее неизвестна (условия Y1, Y2, ...). Спрашивается, какие предметы одежды (х1, х2, ...) следует взять с собой?

    Эту задачу мы, разумеется, решаем без всякого математического аппарата, хотя, по-видимому, не без опоры на какие-то численные данные (хотя бы на вероятности морозной или дождливой погоды в районах путешествия в данное время года). Однако, если нужно принять более серьезное и ответственное решение (например, о характеристиках проектируемой плотины в районе возможных паводков, или о выборе типа посадочного устройства для посадки на планету с неизвестными свойствами поверхности, или о выборе образца вооружения для борьбы с противником, характеристики которого заранее неизвестны), то выбору решения в обязательном порядке должны быть предпосланы математические расчеты, облегчающие этот выбор и сообщающие ему, в доступной мере, черты разумности.