Математические модели в системном анализе

     Если  же мы поставим вопрос иначе —  оценить по этим данным наш будущий выигрыш, то ответ  3.48   принято  называть  математическим ожиданием  случайной величины, которое в общем случае определяется как

     Mx = å X_i · P(X_i);                                                                            {2 - 1}

     где  P(X_i) —   вероятность того, что X примет свое  i-е очередное значение.   

     Таким  образом, математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной)— это то, к чему стремится ее среднее  значение при достаточно большом числе наблюдений.

     Обращаясь к нашему примеру, можно заметить, что кость  несимметрична, в противном случае вероятности составляли бы по 1/6 каждая, а  среднее и  математическое ожидание составило бы  3.5.

     Поэтому уместен следующий вопрос -  а  какова  степень  асимметрии  кости - как ее оценить по итогам наблюдений?

     Для этой цели используется специальная величина —  мера рассеяния —  так же как мы "усредняли" допустимые значения СВ,  можно усреднить ее  отклонения от среднего.  Но так как  разности (X_i - Mx) всегда будут  компенсировать друг друга,  то приходится  усреднять не отклонения от среднего,  а квадраты  этих отклонений. Величину принято называть дисперсией  случайной величины X.

     Вычисление  дисперсии намного  упрощается,  если  вычислять дисперсию  случайной величины через  усредненную разность квадратов ее значений  и  квадрат  ее  среднего значения.

     Выполним  такое вычисление для случайной  величины с распределением.

     Таблица 1.2  

     Таким образом, дисперсия составит   14.04 - (3.48)² =  1.930. 

     Заметим, что размерность дисперсии не совпадает с размерностью самой  СВ и это не позволяет оценить величину разброса. Поэтому чаще всего вместо дисперсии используется квадратный корень из ее значения — т. н. среднеквадратичное отклонение  или отклонение от среднего значения, составляющее в нашем случае    = 1.389. Много это или мало? 

     Сообразим, что в случае наблюдения только одного из возможных  значений (разброса нет) среднее было бы равно именно этому значению, а дисперсия составила бы 0. И наоборот - если бы все значения наблюдались одинаково часто  (были бы равновероятными), то среднее значение составило бы  (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.500; усредненный квадрат отклонения  —  (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6 =15.167;  а дисперсия   15.167-12.25 = 2.917.

     Таким образом, наибольшее рассеяние значений СВ имеет место  при ее равновероятном  или равномерном  распределении.

     Отметим, что значения Mx  и S_X являются размерными и  их  абсолютные значения мало что говорят. Поэтому часто для грубой оценки "случайности" данной СВ  используют т. н. коэффициент вариации или отношение корня квадратного из дисперсии к величине математического ожидания:

     V_x  = S_X/M_X . 

     В  нашем примере эта величина составит 1.389/3.48=0.399.

     Итак, запомним, что неслучайная, детерминированная  величина имеет математическое ожидание равное  ей самой, нулевую дисперсию и нулевой коэффициент вариации, в то  время  как равномерно распределенная СВ имеет максимальную дисперсию и максимальный коэффициент вариации.

     В ряде ситуаций приходится иметь дело с непрерывно распределенными СВ - весами, расстояниями и т. п.  Для них идея оценки среднего значения (математического ожидания)  и меры рассеяния (дисперсии) остается той же, что  и  для  дискретных  СВ. Приходится только вместо соответствующих сумм вычислять интегралы. Второе отличие —  для непрерывной СВ вопрос о том какова вероятность принятия нею конкретного значения обычно не имеет смысла — как проверить, что вес товара составляет точно 242 кг - не больше  и  не меньше?

     Для всех СВ —  дискретных и непрерывно распределенных, имеет  очень большой смысл вопрос о  диапазоне значений. В самом деле, иногда знание вероятности того события,  что  случайная величина не превзойдет заданный рубеж, является единственным  способом использовать имеющуюся информацию для системного анализа и системного подхода к управлению. Правило определения вероятности попадания в диапазон очень просто —  надо просуммировать вероятности отдельных дискретных значений  диапазона или проинтегрировать кривую распределения на этом диапазоне.

     1.2Взаимосвязи случайных событий

     Вернемся  теперь к вопросу о случайных  событиях.  Здесь  методически удобнее рассматривать вначале простые события (может  произойти  или  не произойти). Вероятность события X будем обозначать P(X)  и  иметь  ввиду,  что  вероятность того, что событие  не произойдет, составляет 

     P(X) = 1 - P(X).  

     Самое важное при рассмотрении нескольких случайных событий  (тем  более в сложных системах с развитыми связями между элементами и  подсистемами) —  это понимание  способа  определения  вероятности  одновременного наступления нескольких событий или, короче, —  совмещения событий.

     Рассмотрим  простейший пример двух событий X и Y, вероятности  которых составляют P(X) и P(Y). Здесь важен лишь один вопрос —  это  события независимые или, наоборот взаимозависимые и  тогда какова мера  связи между ними? Попробуем разобраться в этом вопросе на основании здравого смысла.

     Оценим  вначале вероятность одновременного наступления двух  независимых событий. Элементарные рассуждения приведут нас к выводу: если события  независимы, то при 80%-й вероятности X и 20%-й вероятности Y одновременное  их наступление  имеет вероятность всего лишь  0.8 • 0.2  =  0.16   или 16% .

     Итак  —  вероятность наступления двух независимых событий определяется произведением их вероятностей:

     P(XY) = P(X)                             

     Перейдем  теперь к событиям зависимым.  Будем  называть  вероятность события X при условии, что событие Y уже произошло условной вероятностью P(X/Y), считая при этом  P(X) безусловной или полной вероятностью. Столь же простые рассуждения приводят к так называемой  формуле Байеса

     P(X/Y)                                             

     где слева и справа записано одно и  то же — вероятности одновременного наступления двух "зависимых" или коррелированных событий.

     Дополним  эту формулу общим выражением  безусловной вероятности события X:

     P(X) = P(X/Y) P(Y) + P(X/Y) P(Y),                                     

     означающей, что  данное событие X может произойти либо после того как  событие Y произошло, либо после того, как оно не произошло  (Y) —  третьего не дано!

     Формулы Байеса или т. н. байесовский подход к  оценке  вероятностных связей для простых событий и дискретно распределенных  СВ  играют решающую роль в теории принятия решений в условиях неопределенности последствий этих решений или в условиях противо-действия со стороны природы,  или других больших систем (конкуренции). В этих условиях ключевой является стратегия управления,  основанная на прогнозе т. н. апостериорной (послеопытной) вероятности события.

     Прежде  всего, еще раз отметим взаимную связь событий X  и Y —   если одно не зависит от другого, то данная формула обращается  в  тривиальное тождество. Кстати, это обстоятельство используется при  решении  задач  оценки тесноты связей —  корреляционном анализе.    Если же взаимосвязь событий имеет место, то формула  Байеса  позволяет вести управление путем оценки вероятности достижения некоторой  цели на основе наблюдений над процессом функционирования системы  —   путем перерасчета вариантов стратегий  с  учетом  изменившихся  представлений, т. е. новых значений вероятностей. 

     Дело  в том, что любая стратегия управления будет строиться на базе определенных представлений о вероятности событий в системе — и на первых шагах эти вероятности будут взяты "из головы" или в лучшем случае из опыта управления другими системами. Но по мере  "жизни"  системы  нельзя упускать из виду возможность "коррекции" управления - использования всего накапливаемого опыта.

     1.3Схемы случайных событий и законы распределений случайных величин

     Большую роль в теории и практике системного анализа играют  некоторые стандартные распределения непрерывных и дискретных СВ.

     Эти распределения иногда называют "теоретическими",  поскольку  для них разработаны методы расчета всех показателей распределения,  зафиксированы связи между ними, построены алгоритмы расчета и т. п.

     Таких, классических законов распределений достаточно много, хотя  "штат"  их за последние 30..50 лет практически не пополнился. Необходимость знакомства с этими распределениями  для  специалистов вашего профиля объясняется тем,  что  все  они  соответствуют  некоторым "теоретическим" схемам случайных (большей частью — элементарных) событий.

     Как уже отмечалось, наличие больших  массивов взаимосвязанных  событий и обилие случайных величин в системах экономики приводит к  трудностям априорной оценки законов распределений  этих  событий  или  величин. Пусть, к примеру, мы  каким-то  образом  установили  математическое ожидание спроса некоторого товара. Но этого мало - надо хотя бы  оценить степень колебания этого спроса, ответить на вопрос —  а  какова  вероятность того, что он будет лежать в таких-то пределах? Вот если бы установить факт принадлежности данной случайной величины к такому классическому распределению как т. н. нормальное,  то  тогда задача оценки диапазона, доверия к нему (доверительных интервалов) была бы  решена безо всяких проблем.

     Доказано, например, что с вероятностью более  95%  случайная величина  X с нормальным законом распределения лежит в  диапазоне  — математическое ожидание Mx плюс/минус  три среднеквадратичных отклонения S_X.          

     Так вот  —   все дело в том к какой из схем случайных событий  классического образца  ближе  всего  схема  функционирования  элементов  вашей большой системы. Простой пример - надо оценить показатели оплаты  за  услуги предоставления времени на междугородние переговоры - например, найти  вероятность того, что за 1 минуту осуществляется ровно N переговоров,  если заранее известно среднее число поступающих в минуту  заказов. Оказывается, что схема таких случайных событий прекрасно укладывается в  т. н. распределение Пуассона для дискретных случайных величин. Этому распределению подчинены почти все дискретные  величины,  связанные с так называемыми "редкими" событиями.

     Далеко  не всегда математическая оболочка классического  закона  распределения достаточно проста. Напротив —  чаще всего это сложный  математический аппарат со своими, специфическими приемами. Но дело не в  этом, тем более при "повальной" компьютеризации всех областей деятельности человека. Разумеется, нет необходимости знать в деталях  свойства  всех  или хоть какой-то части классических распределений - достаточно иметь  в виду саму возможность воспользоваться ими.

     Из  личного опыта - очень давно, в  до_компьютерную эру автору этих строк  удалось предложить метод оценки степени надежности энергоснабжения, найти по сути дела игровой метод принятия решения о необходимости затрат на  резервирование линий электропередач в условиях неопределенности —  игры с природой.

     Таким образом, при системном подходе  к решению той или иной  задачи управления (в том числе и экономического) надо  очень  взвешено  отнестись к выбору элементов системы или  отдельных  системных  операций. Не всегда "укрупнение показателей" обеспечит логическую  стройность структуры системы — надо понимать, что заметить близость схемы событий в данной системе к схеме классической чаще всего удается на самом "элементарном" уровне системного анализа.

     Завершая  вопрос о распределении случайных  величин обратим  внимание на еще одно важное обстоятельство: даже если нам достаточно одного единственного показателя —  математического ожидания данной случайной величины, то и в этом случае возникает вопрос о надежности данных об этом показателя.