Введение                                                                                                                 3

Глава1.Основные понятия  математической статистики                                   5

     1.1Случайные  события и величины, их основные  характеристики       5 

     1.2Взаимосвязи  случайных событий                                                         8

     1.3Схемы  случайных событий и законы  распределений случайных величин                                                                                                                 10

     1.4Методы  непараметрической статистики                                            12

     1.5Корреляция  случайных величин                                                         13

     1.6  Линейная регрессия                                                                            15

     1.7  Элементы теории статистических решений                                    16

Глава 2. Математическое описание объектов                                                   17

          2.1. Аналитический подход к построению моделей                               17

     2.2. Экспериментальное определение  статических и динамических характеристик  объектов.                                                                                     18

Заключение                                                                                                           24

Список использованной литературы                                                                  26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                Введение

     Моделирование как метод системного анализа

     Одной из проблем, с которой сталкиваются почти всегда при проведении системного анализа, является проблема эксперимента в системе или над системой. Очень редко это  разрешено  моральными законами или законами безопасности, но сплошь и рядом связано с материальными затратами и (или) значительными потерями информации.

     Опыт  всей человеческой деятельности учит —  в таких ситуациях надо экспериментировать не над объектом, интересующим нас предметом или системой, а над их моделями. Под этим термином надо понимать не обязательно модель физическую, т. е. копию объекта в уменьшенном или увеличенном виде. Физическое моделирование очень редко применимо в системах, хоть как то связанных с людьми. В частности в социальных системах (в том числе —  экономических) приходится прибегать к математическому моделированию.

     Буквально через минуту станет ясно, что математическим моделированием мы овладеваем еще на школьной скамье. В самом деле, пусть требуется найти площадь прямоугольника со сторонами 2 и 8 метров. Измерение сторон произведено приближенно —  других измерений расстояний не бывает!    Как решить эту задачу?  Конечно же —  не путем рисования прямоугольника (даже в уменьшенном масштабе) и последующем разбиении его на квадратики с окончательным подсчетом их числа.  Да, безусловно, мы знаем формулу  S = B·H и воспользуемся ею —  применим математическую модель процесса определения площади.

     Возвращаясь к начатому ранее примеру системного анализа обучения, можно заметить, что там собственно нечего вычислять по формулам — где же их взять.  Это так и есть, не существует методов расчета в такой сфере как “прием-передача” знаний и сомнительно, чтобы  эти методы когда-либо появились.

     Но  ведь не существует формулы пищеварения, а люди все таки едят, планируют процесс питания,  управляют им и иногда даже успешно.....

     Так что же?  Если нет математических моделей — не выдумывать же их самому?  Ответ на этот вопрос самый простой:  всем это уметь и делать —  не обязательно, а вот тому, кто взялся решать задачи системного анализа —  приходится и очень часто. Иногда здесь возможна подсказка природы, знание технологии системы; в ряде случаев может выручить эксперимент над реальной системой или ее элементами (т. н. методы планирования экспериментов) и, наконец, иногда приходится прибегать к методу “черного ящика”, предполагая некоторую статистическую связь между его входом и выходом.

     Таким “ящиком” в рассматриваемом примере  считался не только студент (с вероятностью такой-то получивший знания), но и все остальные элементы системы —  преподаватели  и лица, организующие обучение.

     Конечно, возможны ситуации, когда все процессы в большой системе описываются  известными законами природы и когда  можно надеяться, что запись уравнений этих законов даст нам математическую модель хотя бы отдельных элементов или подсистем.  Но и в этих, редких, случаях возникают проблемы не только в плане сложности уравнений, невозможности их аналитического решения (расчета по формулам).  Дело в том, что в природе трудно обнаружить примеры “чистого” проявления ее отдельных законов — чаще всего сопутствующие явление факторы “смазывают” теоретическую картину.

     Еще одно важное обстоятельство приходится учитывать при математическом моделировании. Стремление к простым, элементарным моделям и вызванное этим игнорирование ряда факторов может сделать модель неадекватной реальному объекту, грубо говоря — сделать ее неправдивой. Снова таки, без активного взаимодействия с технологами, специалистами в области законов функционирования систем данного типа, при системном анализе не обойтись.

     В системах экономических, представляющих для вас основной интерес, приходится прибегать большей частью к математическому  моделированию, правда в специфическом  виде —  с использованием  не только количественных, но и качественных, а также логических показателей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                 Глава1.Основные понятия  математической статистики

     1.1Случайные события и величины, их основные характеристики 

     Как уже говорилось, при анализе больших систем  наполнителем  каналов связи между элементами, подсистемами и системы в целом могут быть:

     · продукция, т. е. реальные, физически  ощутимые предметы  с  заранее заданным  способом их количественного и качественного описания;

     · деньги, с единственным способом описания —  суммой;

     · информация, в виде сообщений о  событиях в системе и значениях  описывающих ее поведение величин.

     Начнем  с того, что обратим внимание на  тесную  (системную!)  связь показателей продукции и денег с информацией об этих показателях. Если рассматривать некоторую физическую величину, скажем —  количество проданных за день образцов продукции, то сведения  об  этой  величине  после продажи могут быть получены без проблем  и  достаточно  точно  или достоверно. Но, уже должно быть ясно, что при системном анализе нас куда больше интересует будущее —  а сколько этой продукции  будет  продано  за  день?  Этот вопрос совсем не праздный — наша цель управлять, а по образному выражению  “управлять —  значит  предвидеть”.

     Итак, без предварительной информации, знаний о количественных показателях  в системе нам не обойтись.  Величины,  которые  могут  принимать различные значения в зависимости от внешних по отношению к ним  условий, принято называть случайными (стохастичными по природе). Так, например: пол встреченного нами человека может быть женским  или  мужским (дискретная случайная величина); его рост также может быть различным, но это уже непрерывная случайная величина — с тем или иным количеством возможных значений (в зависимости от единицы измерения).

     Для случайных величин (далее — СВ) приходится использовать особые,  статистические методы их описания. В зависимости от типа самой СВ — дискретная или непрерывная это делается по разному.

     Дискретное  описание заключается в том, что указываются все возможные значения данной величины (например - 7 цветов обычного спектра) и для каждой из них указывается вероятность или  частота наблюдений именного этого значения при  бесконечно  большом  числе  всех наблюдений.

     Можно доказать (и это давно сделано), что при увеличении числа  наблюдений в определенных условиях за значениями некоторой дискретной величины частота повторений данного значения будет все больше приближаться к  некоторому фиксированному значению  — которое и есть вероятность  этого значения.

     К понятию вероятности значения дискретной СВ можно подойти  и  иным путем —  через случайные события. Это наиболее простое понятие  в  теории вероятностей и математической статистике —  событие  с  вероятностью  0.5 или 50% в 50 случаях из 100 может произойти или не произойти, если же его вероятность более 0.5 - оно чаще происходит, чем не происходит. События с вероятностью 1 достоверными, а с вероятностью 0 — невозможными.

     Отсюда  простое правило: для случайного события X вероятности  P(X) (событие происходит) и P(X) (событие  не происходит),  в сумме для простого события дают 1.

     Если  мы наблюдаем  за сложным событием — например, выпадением чисел  1..6  на верхней грани игральной кости, то можно считать, что такое событие имеет  множество исходов и для каждого из них вероятность составляет 1/6 при симметрии кости.

     Если  же кость несимметрична, то вероятности  отдельных чисел будут разными, но сумма  их  равна 1.

     Стоит  только рассматривать итог бросания кости как дискретную  случайную величину и мы придем к понятию распределения вероятностей такой величины.

     Пусть в результате достаточно большого числа  наблюдений за игрой  с помощью одной и той же кости мы получили следующие данные:   

       Таблица  1.1

     Подобную  таблицу наблюдений за СВ часто называют  выборочным распределением,   а соответствующую ей картинку (диаграмму) — гистограммой.  

     Какую же информацию несет  такая табличка  или  соответствующая ей гистограмма?

     Прежде  всего, всю —   так  как иногда и таких данных о значениях случайной величины нет и их приходится либо добывать (эксперимент, моделирование),  либо  считать  исходы  такого сложного события равновероятными —  по   на любой из исходов.

     С другой стороны — очень мало, особенно в цифровом, численном описании СВ.  Как, например, ответить на вопрос: — а сколько в среднем мы выигрываем за одно бросание кости, если выигрыш соответствует выпавшему числу на грани? 

     Нетрудно  сосчитать:

     1•0.140+2•0.080+3•0.200+4•0.400+5•0.100+6•0.080=  3.48    

     То, что мы вычислили, называется средним  значением случайной величины, если нас интересует  прошлое.