Основные элементы геодезических вычислений



Основные элементы геодезических  вычислений

Топогеодезическая привязка связана с громоздкими и сложными вычислениями, которые состоят из отдельных элементов, в практике геодезических работ называемых основными элементами геодезических  вычислений.

Основными элементами геодезических  вычислений являются:

-    переход от дирекционного угла одного направления к дирекционному углу другого направления, исходящему из одной и той же точки;

-    определение вычисления горизонтального угла по дирекционным углам направлений, составляющих этот угол;

-    решение прямой геодезической задачи;

-    решение обратной геодезической задачи;

-    решение треугольника;

-    определение величины сближения меридианов;

-    переход от истинного или магнитного азимута к дирекционному углу;

-    определение превышений.

В вычислительных бланках  все цифры пишутся вычислительным  шрифтом

Прямая геодезическая  задача 

 

Прямая геодезическая  задача на плоскости заключается в нахождении координат определяемой точки по известным прямоугольным координатам заданной точки, расстоянию между ними и дирекционному углу с заданной точки на определяемую.

Дана точка А с координатами (Х_А, У_А), расстояние между точками А и В —  и дирекционный угол (АВ) с точки А на точку В (рис 2.21).

Необходимо определить координаты точки В(Х_В,У_В). 

 

Проекции  на оси координат будут соответствовать  Х  и  У.

Тогда:                                              Х_В= Х_А+ Х;                                                 (2.4)

У_В=У_В+ У.

Величины Х и У называются приращениями координат. Их значения определяются из прямоугольного треугольника АСВ:

Х=  соs (AB);                                        (2.5)

Y=  sin (AB).

Координаты точки В определяются после сложения алгебраических приращений координат с координатами точки А:

Х_В=Х_А+  соs (AB);

У_В=У_А+  sin (AB).                                       (2.6)

Формулы (2.6) представляют собой  математическое выражение прямой геодезической  задачи.

В зависимости от расположения определяемой точки относительно заданной направление между ними может  находиться в различных четвертях  окружности.

Для того, чтобы в процессе вычисления приращений координат было удобно пользоваться таблицами логарифмов (натуральных значений) тригонометрических функций, которые, как правило, составлены для острых углов первой четверти, необходимо от дирекционного угла направления  от заданной точки на определяемую перейти к значению угла первой четверти ^,. При этом с целью сохранения наименования функций этот переход следует осуществлять от вертикального диаметра.

На рис. 2.22 для направлений  в различных четвертях записаны формулы перехода от дирекционного  угла к углу первой четверти (острому  углу). Знаки приращений координат зависят от знаков функций косинуса и синуса дирекционного угла направления, по которому вычисляется приращение координат:

При решении прямой геодезической  задачи можно также пользоваться табл.2.4.

Таблица 2.4

Справочные данные для  решения прямой геодезической задачи

Дирекционный угол направления	Четверть окружности	Знаки приращения координат		Формула для перехода от дирекционного угла к значению угла первой четверти	Знаки тригонометрических функций для направлений в  различных четвертях
		Х	У
От 0 до 90º (от 0 до 15-00)    От 90º до 180º (от 15-00 до 30-00)    От 180º до 270º (от 30-00 до 45-00)    От 270º до 360º (от 45-00 до 60-00)	І        ІІ        ІІІ        ІV	+        -        -        +	+        +        -        -	α’ =(АВ)        α’ =180º-(АВ)        α’ =(АВ)-180º        α’ =360º-(АВ)	00 sin 00 cos +          + 2700 900 -                       - 1800 2700 900

Приращения координат  Х и У при решении прямой геодезической задачи можно определять различными способами:

-       графическим;

-       аналитическим.

Выбор метода и средств для решения прямой геодезической задачи зависит от вида топогеодезической привязки и требуемой точности определения координат.

Решение прямой геодезической  задачи графическим методом может быть выполнено на карте (аэроснимке), планшете или на приборе управления огнем.

При аналитическом решении прямой геодезической задачи приращение координат Х и У можно определить с помощью:

-        пятизначных таблиц логарифмов;

-        четырех- или пятизначных таблиц натуральных значений тригонометрических функций с использованием простейшей вычислительной техники (арифмометра);

-        с помощью ЭКВМ;

-        счислителя СТМ;

-        логарифмической линейки;

-        номограммы инструментального хода (НИХ).

При вычислении приращений координат Х и У с помощью таблиц логарифмов используют формулы, которые получают в результате логарифмирования выражений (2.5):

lgХ = lg  + lg cos (AB);

lgУ = lg  + lg sin (AB).                                     (2.4.)

Пример 2.7 Решить прямую геодезическую задачу.

Известны:

Х_А=95094,4;           = 609,2;

Y_A= 99568,8;          (AB) = 45^о11’21″.

Определить координаты точки  В.

Решение

Х_В =Х_А+ ^. cos (AB);                              cos (AB) = cos (45^о11’21″) = 0,70572;

Y_B = Y_A + ^. sin (AB);                             sin (AB) = sin (45^о11’21″) = 0,70848.

Х ₌^. cos (AB) = 429,3 м;                       X_B = 95523,7 м;

Y =^. sin (AB) = 432,2 м.                       Y_B = 100000,1 м.

Пример 2.8

Решить прямую геодезическую  задачу.

Известны:                      X_A = 81819,9;     = 778,3;

Y_A = 41894,8;     (AB) = 275^о40’50″.

Определить координаты ориентира  В.

Решение

X_B = X_A + ^. cos (AB);                        cos (AB) = cos (275^о40’50″) =  0,098982;

Y_B = Y_A + ^. sin (AB);                         sin (AB) = sin (275^о40’50″) = -0,995089.

X = ^. cos (AB) = 77,0 м;                 X_B = 81898,9 м;

Y = ^. sin (AB) = — 774,5 м.               Y_B = 41120,3 м. 

 

Обратная геодезическая  задача

Обратной  геодезической задачей на плоскости  называется задача определения дирекционного  угла (АВ) с одной точки на другую и расстояния АВ между ними по известным  прямоугольным координатам этих точек.

Решение обратной геодезической  задачи.

Даны:

-   точка А с координатами (Х_А,Y_А);

-   точка В с координатами (Х_В,Y_В).

Требуется определить: —  дирекционный угол (АВ) с точки А на точку В;

-  расстояние  между точкой А и точкой В.

В прямоугольном треугольнике АСВ катеты СМ СВ соответствуют приращениям координат:

АС= Х = Х_В – Х_А;                                             (2.9)

СВ = Y = Y_В – Y_А.

Таким образом, в прямоугольном  треугольнике АСВ два катета, по которым можно определить все  его остальные элементы:

- острый угол САВ, равный  дирекционному углу (АВ);

- гипотенузу АВ, которая  есть не что иное, как расстояние .

При расположении точек А и В в первой четверти (АВ) = ‘.

Тогда:

tg ‘ = tg (AB) =(Y_B – Y_A) / (X_B – X_A) =  Y / X;                    (2.10)

= (Y_B – Y_A) / sin (AB) = Y / sin ‘, если ‘ > 45^o,           (2.11)

или  = (X_B- X_A) / cos (AB) = X / cos ‘, если ‘ < 45^o.            (2.12)

Формулы (2.10, 2.11, 2.12,) представляют собой математическое выражение обратной геодезической задачи.

Из этих зависимостей видно, что для решения данной задачи:

- необходимо по координатам  точек А и В вычислить Х и Y;

- по формуле (2.10) вычислить  дирекционный угол направления  с точки А на точку В, приведенный к острому углу первой четверти;

- по формулам (2.11, 2.12) дважды  получить искомое расстояние .

За окончательное значение расстояния принимается  значение, полученное по большей разности координат.

Для решения обратной геодезической  задачи в общем случае определяется не дирекционный угол (АВ), а острый угол ^,. Переход от острого угла ^, к дирекционному  углу (АВ) осуществляется в зависимости от знаков приращений координат.

Обратная геодезическая  задача решается теми же способами  и средствами, что и прямая геодезическая  задача.

При решении обратной геодезической  задачи с помощью пятизначных  таблиц логарифмов формулы (2.10, 2.11, 2.12) логарифмуются и приводятся к виду:

lg tg ‘ = lgY – lg Х;

lg  = lgX – lg cos ‘ = lgХ + lg sec ‘;                        (2.13)

lg  = lgY – lg sin ‘ = lgY – lg cosec ‘.

Пример 2.9

Решить обратную геодезическую  задачу.

Известны:

X_A = 32761,3;     X_B = 36184,3 м;

Y_A = 87847,4;     Y_B = 84249,7 м.

Определить:

- расстояние  между точками А и В;

- дирекционный угол (АВ) между  точками А и В.

Решение

tg (AB) = (Y_B — Y_A) / (X_B - X_A) = Y /X;

= (Y_B — Y_A) / sin (AB);           (AB) = 373^о34’29″;

= (X_B — X_A) / cos (AB).           (AB) =  4965,9 м;

X =  3423,0 м;

Y = -3597,7 м.

Пример 2.10

Решить обратную геодезическую  задачу.

Известны:

X_A = 28148,2;   X_B = 29962,8 м;

Y_A = 71558,4;   YB = 71540,8 м.

Определить:

- расстояние между точками   (расстояние между НП и ориентиром);

- дирекционный угол (АВ) (с  НП на ориентир).

Решение

tg (AB) = (Y_B — Y_A) / (X_B - X_A) = Y / X;

= (Y_B — Y_A) / sin (AB);           (AB) = 359^о26’36″;       X = 1814,6 м;

= (X_B – X_A ) / cos (AB).         =  1814,7 м;             Y = — 176,3 м.

Решение треугольника

При топогеодезических вычислениях  наиболее часто приходится определять по известным стороне и двум углам  значение третьего угла и величину двух других сторон треугольника. То есть решить треугольник.

Решить  треугольник – это значит определить известные значения угловых и  линейных элементов треугольника.

Для решения треугольника необходимо знать значения трех любых  его элементов. С решением треугольника связаны все виды засечек. В практике топогеодезических работ привязка элементов боевого порядка засечками  сводится к решению треугольника по двум углам и одной стороне.

Пусть в треугольникеАВС  известны: углы  А, В; длина    стороны .

Требуется определить остальные  элементы треугольника: С; стороны  и .

Угол С находится как дополнение до 180^о суммы углов А и В, т.к.

С + А + В = 180^о;

С = 180^о – (А + В)

или      С = 30-00 – (А + В).

Длины сторон  и  можно определить на основании теоремы синусов:         в треугольнике отношение длины любой стороны к синусу противолежащего ей угла есть величина постоянная.

Поэтому для треугольника АВС можно записать соотношение

/sin C = / sin B = / sin A.

Из условия задачи длина  стороны  и угол С известны, поэтому отношение  /sin C является исходным для решения косоугольного треугольника. Поэтому