Частотный критерий устойчивости

Министерство  образования Российской Федерации

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

Кафедра АРМ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

 

“Частотный критерий устойчивости”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил  студент группы 8Н00

Барышев И.Ю.

Проверил  преподаватель

Сикора Е.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

Томск 2012

 

Содержание

Введение………………………………………………………………………2

Определение…………………………………………………………………..3

Принцип аргумента…………………………………………………………..3

Категорий Найквиста…………………………………………………………4

Список использованной литературы…………………………………………5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Частотные критерии и применяются для исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.

При формулировке частотных критериев не имеет значения, какой системы (разомкнутой или замкнутой) исследуется устойчивость, т. е. рассмотренные критерии в равной мере применимы для исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.

Разомкнутая система – это система, в которой отсутствует обратная связь между входом и выходом, т.е. управляемая величина (выходная) не контролируется.

Замкнутая система – это система  регулирования по отклонению, на вход УУ через обратную связь поступает  информация о фактическом изменении  выходной величины.

Наиболее распространенный критерий устойчивости – критерий Найквиста.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

Частотные характеристики устойчивости – это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

 

Принцип аргумента

Запишем характеристический полином САУ в виде

 

D(p) = a0* (p - p1)* (p - p2)*...* (p - pn) = 0.

 

Его корни

 

где 

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости, тогда разность p - pi изобразится разностью векторов, где p - любое число. Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - pi будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как pi - это конкретное неизменное значение. В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой ω, то p = jω, а характеристический полином принимает вид:

D(jω) = a0* (jω - p1)

(jω - p2)*...* (jω - pn),

При этом концы векторов jω - pi будут находиться на мнимой оси. Если менять ω от - ∞ до + ∞, то каждый вектор jω - pi будет поворачиваться относительно своего начала pi на угол +p для левых и - p для правых корней.

Характеристический полином можно  представить в виде:

D(jω) = |D(jω)|expjarg(D(jω)),    где |D(jω)| = a0

|jω - p1| |jω - p2|...|jω - pn|,

arg(D(jω)) = arg(jω - p1) + arg(jω - p2) + .. + arg(jω - pn).

Пусть из n корней m - правые, а n - m - левые, тогда угол поворота вектора D(jω) при изменении ω от - ∞ до +∞ равен:

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты ω от - ∞ до +∞ равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на π, а при изменении частоты ω от 0 до +∞ эта разность умножается на π/2.

Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Критерий Найквиста

Критерий Найквиста - это графоаналитический критерий. Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы автоматического управления по амплитудно-фазовой или логарифмической частотной характеристике разомкнутой системы.

 передаточная  функция разомкнутой системы

После подстановки s=jω, получим

W(jω)- АФЧХ разомкнутой САУ; 
W(jω)=U(ω)+jV(ω).

Где U(ω)- вещественная частотная характеристика САУ;

V(ω)- мнимая частотная характеристика САУ.

W(jω)=A(ω)exp(jθ(ω))=U(ω)+jV(ω); 
A(ω)=|W(jω)| - амплитудно-частотная характеристика;  

θ(ω)=argW(jω)- фазово-частотная характеристика.