Модели операций дисконтирования, применяемый в экономическом анализе

1. Модели операций дисконтирования, применяемый в экономическом анализе

Различают математическое дисконтирование и коммерческий (банковский) учет.

Математическое дисконтирование связано с определением так называемого современного, или приведенного, значения P на некоторый момент времени, которое соответствует заданному значению S в другой момент времени. Простейшая задача - определение суммы вклада P на основе заданной конечной величины в будущем S через временной период начислений n под заданную, например, простую ставку процентов[1]:

P = S / (1 + ni) = S * d,

где d - коэффициент дисконтирования (приведения) по простой ставке процентов d = 1/(1 + ni).

Дисконтированное значение будущей суммы вклада по сложной ставке процентов равно:

P = S / (1 + ic)^n = S * dc,

где dc – коэффициент дисконтирования (приведения) по сложной ставке процентов dc = 1/(1 + ic)^n, а по номинальной ставке процентов jm при начислении процентов m раз в году –

P = S (1 + jm/m )^m*n.

Банковский учет заключается в покупке денежных обязательств, например векселя банком по цене, которая меньше номинальной указанной в ней суммы. В этом случае говорят, что вексель учитывается и клиент получает сумму:

P = S − D,

где S - номинальная сумма данного обязательства; P - цена покупки векселя банком; D - дисконт, сумма процентных денег (доход банка).

Процентный доход покупателя векселя банка может определяться по простой годовой учетной ставке:

d% = (D / S) * 100%.

Если срок n от даты учета до даты погашения будет составлять часть года, то дисконт определяется по формуле

D = n * d * S = (t / K) * d * S,

где d - относительная величина простой учетной ставки.

Предъявителю учитываемого денежного обязательства будет выдана сумма:

P = S − D = S * (1 − n*d) = S · (1 – (t / K) * d).

Дисконтирование может быть связано и с проведением кредитной операции. В таком случае проценты начисляются в начале интервала начисления и заемщик получает сумму P за вычетом процентных денег D из суммы кредита S, подлежащего к возврату. Поэтому при проведении операции по простой учетной ставке d следует пользоваться формулой[2]:

S = P / (1 – n*d) ;

при проведении операции по сложной учетной ставке dc –

S = P / (1 − dc) *n.

Отсюда можно найти другие показатели операции:

n = ln (P/S) / ln(1 − dc) ; dc = 1 – (n)√P/S.

В финансовых операциях используется и номинальная годовая учетная ставка f, по которой при начислении процентов m раз в году можно определить

S = P / (1 − f/m)^m*n .

Отсюда находят следующие формула расчета показателей операции:

n = ln (P/S) / m*ln(1 − f/m) ; f = m(1 – (n*m)√P/S).

При непрерывном начислении процентов по номинальной годовой учетной ставке f справедливо соотношение

S =P / (lim(1 – f/m)^m*n)= Pe^(−f*n),

из которого следуют следующие формулы:

n = 1/f * lnP/S ; f =1/n*lnP/S.

Формула дисконтирования капитала при непрерывном начислении процентов имеет вид

P = Se−t.

Пример 1. Определить современную стоимость 10 тыс. руб., которые будут выплачены через три года при условии, что при расчетах применяется ставка сложных процентов, равная 24% годовых.

Решение.

P = S/(1 + ic) * n = 10(1 + 0, 24)−3 = 5.245тыс. руб.

Пример 2. Вексель на сумму 100 тыс. руб. и сроком платежа через 3 года продан с дисконтом по сложной учетной ставке 30% годовых. Какова сумма дисконта и современная величина платежа? Как изменятся их значения, если в операции будет использована простая учетная ставка?

Решение.

P = S * (1 − dc) * n = 1000 * (1 − 0, 3) * 3 = 343 тыс. руб.;

D = S − P = 1000 − 343 = 657 тыс. руб.

P = S * (1 – n * d) = 1000 * (1 − 3 * 0, 3) = 100 тыс. руб.

D = 1000 − 100 = 900 тыс. руб.

Пример 3. Определить современную величину стоимости векселя на сумму 500 тыс. руб., срок погашения которого наступает через полтора года при непрерывном начислении процентов по ставке 12% годовых.

Решение.

P = S*e−n = 500 * e−0,12*1,5 = 417, 635 тыс. руб.

Пример 4. Заемщик должен возвратить кредитору долг в сумме 1

млн. 200 тыс. руб. Первоначальная сумма была выдана заемщику ссудой в размере 1 млн. руб. под 50% годовых, начисляемых по простой учетной ставке. На какой срок заемщику выдавалась ссуда, если K=360 дней?

Решение.

P = S(1 − td/K); t = ((S – P) / Sd) * K = (1, 2 − 1) / (1,2 * 0, 5) * 360 = 120 дней или 4 месяца.

[1] Лаврушина Е.Г., Молчанова Л.А. Модели финансовой математики. Учебно-методическое пособие. - Владивосток: Дальневост. ун-та, 2006. – 36 с.

[2] Лаврушина Е.Г., Молчанова Л.А. Модели финансовой математики. Учебно-методическое пособие. - Владивосток: Дальневост. ун-та, 2006. – 36 с.