Статистические ряды динамики

    n     –  число уровней ряда ;

     Остальные необходимые показатели вычисляются по формулам 29 – 31:

                                                                      (29)

                                              (30)

                                                  (31) 

      сравнивается с при степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если > , то уравнение регрессии значимо, то есть построенная модель адекватна фактической временной тенденции.  

4. Анализ  сезонных колебаний 

    Уровень сезонности оценивается с помощью:

1. индексов сезонности;
2. гармонического анализа.

     Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня, вычисляемого по уравнению тенденции f(t). При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет. Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов каждого года. Индексы сезонности – это, по либо уровень  существу, относительные величины координации, когда за базу сравнения принят либо средний уровень ряда, либо уровень тенденции. Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции.

     Если тренда нет или он незначителен, то для каждого месяца (квартала) индекс рассчитывается по формуле 32:

                                                                                         (32)

     где – уровень показателя за месяц (квартал) t;

           – общий уровень показателя.

     Как отмечалось выше, для обеспечения устойчивости показателей можно взять больший промежуток времени. В этом случае расчет производится по формулам 33 :

                                            (33)

    где –средний уровень показателя по одноименным месяцам за ряд лет;

              Т     – число лет.

     При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов, исключающих влияние тенденции. Порядок расчета следующий:

1. для каждого уровня определяют выровненные значения по тренду f(t);
2. рассчитывают отношения ;
3. при необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных месяцев (кварталов) по формуле 34:

                        , (Т - число лет).                  (34)

     Другим  методом изучения уровня сезонности является гармонический анализ. Его выполняют, представляя временной ряд как совокупность гармонических колебательных процессов.

     Для каждой точки этого ряда справедливо выражение, записанное в виде формулы 35:

                          (35)                

     при t = 1, 2, 3, ... , Т.

    Здесь – фактический уровень ряда в момент (интервал) времени t;

    f(t)     – выровненный уровень ряда в тот же момент (интервал) t

     – параметры колебательного процесса (гармоники) с номером n , в совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки.

     Общее число колебательных процессов, которые можно выделить из ряда, состоящего из Т уровней, равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим числом наиболее важных гармоник. Параметры гармоники с номером n определяются по формулам 36 –38:

1. ;                                                                       (36)
2.                                                                                                                                                                                                                                                                        

   при n=1,2,...,(T/2 – 1);                          (37)

    3)                                       (38) 
 

5.   Анализ взаимосвязанных рядов динамики

     В простейших случаях для характеристики взаимосвязи двух или более рядов их приводят к общему основанию, для чего берут в качестве базисных уровни за один и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по темпам роста или прироста.

     Коэффициенты  опережения по темпам роста – это  отношение темпов роста (цепных или  базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам роста (также цепным или базисным) другого ряда. Аналогично находятся и коэффициенты опережения по темпам прироста.

     Анализ  взаимосвязанных рядов представляет наибольшую сложность при изучении временных последовательностей. Однако нередко совпадение общих тенденций развития может быть вызвано не взаимной связью, а прочими неучитываемыми факторами. Поэтому в сопоставляемых рядах предварительно следует избавиться от влияния существующих в них тенденций, а после этого провести анализ взаимосвязи по отклонениям от тренда. Исследование включает проверку рядов динамики (отклонений) на автокорреляцию и установление связи между признаками.

     Под автокорреляцией понимается зависимость  последующих уровней ряда от предыдущих. Проверка на наличие автокорреляции осуществляется по критерию Дарбина – Уотсона (формула 39):

                                        ,                                (39)

    где – отклонение фактического уровня ряда в точке t от теоретического (выровненного) значении .

     При К = 0 имеется полная положительная автокорреляция, при К = 2 автокорреляция отсутствует, при К = 4 – полная отрицательная автокорреляция. Прежде чем оценивать взаимосвязь, автокорреляцию необходимо исключить. Это можно сделать тремя способами.

1. Исключение тренда с авторегрессией. Для каждого из взаимосвязанных рядов динамики Х и У получают уравнение тренда (формулы 40):

                                                                          (40)

     Далее выполняют переход к новым рядам динамики, построенным из отклонений от трендов, рассчитанным по формулам 41:

                                                                                   (41)

     Для последовательностей выполняется проверка на автокорреляцию по критерию Дарбина – Уотсона. Если значение К близко к 2, то данный ряд отклонений оставляют без изменений. Если же К заметно отличается от 2, то по такому ряду находят параметры уравнения авторегрессии по формулам 42:

                                                                      (42)

     Более полные уравнения авторегрессии  можно получить на основе анализа автокорреляционной функции, когда определяются число параметров ( ) и соответствующие этим параметрам величины шагов.

     Далее по формуле 43 подсчитываются новые остатки:

                       (t = 1, ... , Т)               (43)

    и  по формуле 44, коэффициент корреляции признаков:

                                                  .                            (44)

2. Корреляция первых разностей. От исходных рядов динамики Х и У переходят к новым, построенным по первым разностям (формулы 45):

                                                         (45)

     По DХ и DУ определяют по формуле 46 направление и силу связи в регрессии:

                                                (46)

3. Включение времени в уравнение связи: .

     В простейших случаях уравнение выглядит следующим образом (формула 47):

                                                                     (47)

     Из  перечисленных методов исключения автокорреляции наиболее простым является второй, однако более эффективен первый. 
 
 
 

    Расчётная часть 

        Задание 1 

Объём реализации туров (млн. руб.) 50 туристских предприятий региона: 

     
 
 
 
 
 
 

Требуется:

1. построить интервальный вариационный ряд распределения, выделив 5 групп предприятий по объёму реализации;
2. дать графическое изображение ряда (гистограмма, кумулята, огива);
3. рассчитать:

3.1. среднюю арифметическую ;

3.2. моду и медиану распределения;

3.3. коэффициент асимметрии . Определить вид асимметрии;

4.    рассчитать показатели вариации:

4.1. размах R;

4.2. среднее линейное отклонение ;

4.3. дисперсия ;

4.4. среднее квадратическое отклонение ;

4.5. коэффициент осцилляции ;

4.6. относительное линейное отклонение ;

4.7. коэффициент вариации ;

Сделать вывод об однородности совокупности.

Решение:

1.  1) Число групп n = 5  по условию

2)

(млн.руб.)

3)             

[5,1; 7,1]                          

(7,1; 9,1]

(9,1; 11,1]

(11,1; 13,1]

(13,1; 15,1]

4)

  

  

  

  

5) Построение  ряда  распределения

                                                                                                                           Таблица 3