Статистические методы анализа систем управления

Содержание

Статистические  методы анализа систем управления.

Сущность  и область применения………………………………………3

Регрессионный анализ………………………………………………….3

Корреляционный  анализ……………………………………………….5

Дисперсионный анализ………………………………………………....5

Ковариационный  анализ……………………………………………….6

Метод временных рядов………………………………………………..6

Метод главных компонентов…………………………………………...7

Факторный анализ………………………………………………………8

Список  использованной литературы………………………………….10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СТАТИСТИЧЕСКИЕ  МЕТОДЫ АНАЛИЗА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.

СУЩНОСТЬ  И ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ.

Сущность. В статистическом анализе производится обработка некоторой случайной выборки, под которой понимаются результаты N последовательных и независимых экспериментов со случайной величиной или событием. Выборка должна быть состоятельной (презентативной), т.е. чтобы объем обрабатываемой информации был достаточен для получения

результатов с требуемой точностью и надежностью.

Область применения. Используется для исследования процессов и объектов по результатам массовых экспериментов со случайными величинами или событиями. Примером статистического характера процесса может служить появление неисправностей при работе технической системы управления, а исследование случайностей как инструмента исследования может иллюстрировать вероятностные методы поиска экстремума некоторой функции.

Наиболее  употребительными методами статистического анализа систем управления являются: регрессионный анализ; корреляционный анализ; дисперсионный анализ; ковариационный анализ; анализ временных рядов; метод главных компонентов; факторный анализ.

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ.

Регрессионный анализ ставит своей задачей исследование зависимости одной случайной величины от ряда других случайных и неслучайных величин (регрессия — зависимость математического ожидания случайной величины от значений других случайных величин). Например, после проведения N экспериментов на статистической модели получен набор реализаций случайных величин {Xi, Уi}, i = 1, 2, 3, …, n, где X является независимой переменной, а У — функцией. Обработка этого массива случайных величин позволяет их представить в виде детерминированной линейной регрессивной модели типа.

 

где коэффициенты а и b рассчитываются согласно методу наименьших квадратов таким образом, чтобы квадраты отклонений случайных величин Уi от значений функций (1.1) на множестве Xi были наименьшими, т.е.

В случае нескольких независимых переменных регрессивная модель представляется линейным полиномом

Y=a+

Где являются «базовыми» значениями всех к переменных, в окрестностях которых анализируется характер исследуемого процесса. Выражение (1.3) представляет собой линейную функцию, однако, если значения хj,- достаточно велики или функция У существенно нелинейна, то можно использовать разложение более высокого порядка .

При анализе регрессионной модели (1.3) значения коэффициентов bj показывают степень влияния j-й переменной на функцию Y, что позволяет разделить все переменные на «существенные» и «несущественные». Однако наибольший интерес регрессионная модель представляет для прогноза поведения функций У. В практической деятельности регрессионный анализ часто используется для создания так называемой эмпирической модели, когда, обрабатывая результаты наблюдений (или характеристики существующих систем), получают регрессионную модель и используют ее для оценки перспективных систем или поведения системы при гипотетических условиях .

Точность  и надежность получаемых оценок зависят  от числа наблюдений (реализаций, экспериментов) и расположения прогностических значений xj относительно базовых (т.е. известных на некоторый момент времени)  Чем больше разность хj, тем меньше точность прогноза.

К О Р Р Е Л  Я Ц И О Н  Н Ы Й А Н  А Л ИЗ.

Корреляционный  анализ используется для определения степени линейной взаимосвязи между случайными величинами (корреляция — зависимость между случайными величинами, выражающая тенденцию одной величины возрастать или убывать при возрастании или убывании другой).

Основными задачами корреляционного анализа являются оценка корреляционных характеристик и проверка статистических гипотез о степени (значимости) связи между случайными величинами.

Корреляционной  характеристикой является коэффициент корреляции, равный математическому ожиданию произведений отклонений случайных величин и xi и xj от своих математических ожиданий и нормированный относительно среднеквадратических отклонений данных случайных величин. Если число случайных величин больше двух (r > 2), то составляется квадратная корреляционная матрица размером (r х r), элементами которой является коэффициенты корреляции kij , а диагональные элементы равны единице (т.е. kij = 1). Коэффициенты корреляции изменяется от нуля до единицы, и чем больше его значение, тем теснее связь между случайными величинами.

Оценка коэффициентов корреляции рассчитываются по значениям оценок математических ожиданий и среднеквадратических отклонений, полученных путем статистической обработки результатов реализаций случайных величин.

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ.

Дисперсионный анализ используется для проверки статистических гипотез о влиянии на показатели качественных факторов, т.е. факторов, не поддающихся количественному измерению (например, качественный фактор — организация производства, влияющий на количественный показатель — прибыль от производства). В этом заключается его отличие от регрессионного анализа, в котором факторы выступают как параметры, имеющие количественную меру (например, количественный фактор — затраты на производство).

В дисперсионном  анализе качественный фактор представляется j-ми возможностями состояниями (например, возможными схемами организации производства), для оценки которых по каждому из них проводится nj экспериментов

(

Далее рассчитываются статистические оценки в каждой j группе экспериментов и в общей выборке N, а затем анализируется соотношение между ними. По этому соотношению принимается или отвергается гипотеза о влиянии качественного фактора на показатель .

КОВАРИАЦИОННЫЙ  АНАЛИЗ.

Ковариационный  анализ используется для создания и изучения вероятностных моделей процессов, в которых присутствуют одновременно как количественные, так и качественные факторы, т.е. он объединяет регрессионные и дисперсионные методы . Модель включает в себя регрессионные и дисперсионные факторы, первые из которых служат для проверки гипотез о значимости количественных факторов, а вторые — качественных .

МЕТОД ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ.

Анализ  временных рядов  используется при исследовании дискретного случайного процесса, протекающего на интервале времени T.

Результаты  экспериментов или наблюдений, полученные на данном интервале, представляются в виде временного ряда, каждое значение Уi которого включает детерминированную f(t) и случайную z(t)  составляющие:

              Yi=f(t)+z(t)

Детерминированная составляющая описывает влияние детерминированных

факторов  в момент времени t, влияние же множества случайных факторов описывает случайная составляющая.

Детерминированную часть временного ряда называют трендом, но этот временной ряд описывается так называемой трендовой моделью:

(t)+z(t)

где , — коэффициенты тренда;

k - количество функций времени, линейная комбинация которых определяет детерминированную составляющую;

(t)- функция времени.

В процессе анализа вид функции времени  (t) постулируется исследователем в виде рабочей гипотезы. Это может быть степенная функция , либо тригонометрическая, например, sin( , где  круговая частота изменения i-й функции. Коэффициенты тренда и оценку дисперсии случайной составляющей определяют путем проведения статистической обработки результатов эксперимента или наблюдений.

С помощью  представления случайного процесса в виде временных рядов можно, во-первых, исследовать динамику этого процесса, во-вторых, выделить факторы, существенным образом влияющие на показатели, и определить периодичность их максимального воздействия, в-третьих, провести интегральный или точечный прогноз показателя Y на некоторый промежуток времени (точечный прогноз указывает лишь точку, возле которой может находиться прогнозируемый показатель, интервальный — интервал нахождения этого показателя с некоторой заданной вероятностью).

МЕТОД ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТОВ.

Метод главных компонентов используется при рассмотрении некоторого множества случайных значений показателей Yi, i=1,2,3,…,k в целях определения общих для них факторов (компонентов), от которых все они зависят. Степень зависимости i-го показателя от j-го компонента отражается величиной , называемой нагрузкой i-го показателя j-й компонент.

Результатом анализа является модель главных  компонентов, в которой каждый показатель представлен суммой произведений компонентов и их нагрузок:

где - центрированные, нормированные и некоррелированные компоненты (случайные величины и называются некоррелированными, если коэффициент их корреляции равен нулю; случайная величина называется центрированной, если ее математическое ожидание равно нулю; центрированная случайная величина называется нормированной, если ее дисперсия равна единице). Модель главных компонентов показывает, что и в какой степени определяет исследуемые показатели, а также объясняет связи между ними .

ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ.

Факторный анализ по своей сути совпадает с методом главных компонентов, однако позволяет представить показатели через меньшее количество факторов (компонентов), поэтому используется при исследовании сложных систем управления с большим числом показателей и сложными взаимосвязями

между ними .

Предполагается, что за множеством показателей системы стоит небольшое число независимых скрытых параметров, называемых факторами. Они определяют значения показателей и взаимосвязь между ними. Степень взаимосвязи между фактором и показателем описывается факторной нагрузкой, количественное значение которой равно коэффициенту корреляции между ними. Если фактор связан со всеми показателями, то он называется генеральным, если с некоторой группой, то групповым, и наконец, если существует связь только с одним показателем, то фактор называется специфическим.

Следовательно, показатели, имеющие высокую нагрузку на общий фактор, обладают общим свойством, которому можно дать название, исходя из физического смысла данной группы показателей. Процедура факторного анализа состоит в переходе от высокоразмерного пространства, выраженного матрицей {уij},(i = 1, 2, 3,…, к, j = 1, 2, 3,…, n ) значений i-х показателей в j-х экспериментах (наблюдениях), к низкоразмерному факторному пространству {гij}, (i = 1, 2, 3,…, к; j= 1, 2, 3,…,m; m < n, m = n(n)), описываемых для i-х показателей.