Сочетание общих средних с групповыми средними дает возможность ограничить качественно однородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп.

    Теория диалектического материализма учит, что не одно явления не останется неизменным, что все в мире меняется, развивается. Меняются и те признаки, которые характеризуются средними, а, следовательно, и сами средние.

    В общественной жизни происходит не прерывный процесс нарождения нового. Носителем нового качества сначала являются единичные объекты, а затем количество этих объектов увеличивается, и новое становится массовым, типичным.

     Отклонения от средней и противоположные стороны являются результатом борьбы противоположностей, одна из которых должна поддерживаться, другая, наоборот, преодолеваться.

     Каждая средняя величина характеризует изучаемою совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон так, изменения доходов торговых предприятий характеризуют показатели среднего оборота на одно предприятия, среднего размера дохода на одно предприятия, среднего уровня доходности и др.

     Тогда общая тенденция видна более отчетливо, т.е. здесь нет уже действия тех разнообразных условий, которые определяли размер дохода каждого предприятия.  
 
 
 
 

Глава 2. Среднее арифметическое - показатель центральной  тенденции.

 

     В результате исследований, связанных с массовыми явлениями, получают много числовых данных. Возникает проблема - найти такие характеристики, которые довольно полно характеризовали бы полученный числовой материал. Характеристики, которые базируются на данных массовых наблюдений, называют обобщающими показателями. Эти показатели характеризуют значения признака, его вариацию. Их вычисляют с помощью вариант и соответствующих частот (относительных частот). Важнейшие среди обобщающих показателей - средние величины, т. е. такие значения признака, вокруг которых группируются отдельные наблюдаемые значения элементов. Отсюда и название - меры центральной тенденции.     

В зависимости  от характера задачи пользуются тем  или иным видом средней величины. К ним принадлежат среднее арифметическое, мода, медиана, степенные средние (среднее гармоническое, среднее геометрическое и т. п.).     

Изучая  и используя обобщающие показатели, следует иметь в виду, что они  только тогда объективно будут соответствовать  своему назначению, если применяются к однородным совокупностям. В противном случае можно получить неправильные выводы. Например, едва ли правильно характеризовать средние учебные достижения учащихся одного региона, вычисленные по данным совокупности, к которой относятся наряду с учащимися элитных учебных заведений (лицеев, гимназий и т. п.) ученики общеобразовательных школ, специализированных школ для умственно отсталых детей и др.     

Неправильное  использование средних показателей  приводит к тому, что в ряде случаев  за "благополучным" показателем успешности скрываются проблемы, связанные с обучением отдельных категорий учащихся.     

В настоящем  параграфе будет рассмотрено  среднее арифметическое и его  свойства.     

Понятие среднего арифметического     

Пусть имеется n объектов, для которых измерена некоторая характеристика, и получены значения x₁, x₂, ..., x_n. Среднее арифметическое этих n значений обозначают через и определяют как , или .     

Символом  с переменным индексом i обозначают следующую сумму: . 

Заметим, что выражение  означает то же самое, что и , т. е. переменный индекс можно обозначать любой буквой.     

Это сокращенное  обозначение суммы обладает следующими простыми свойствами, вытекающими из известных свойств сложения:     

1. .     

2. , так как общий множитель можно выносить за знак суммы.     

3. , так как для сложения справедливо сочетательное свойство.     

4. на основе одновременного применения сочетательного и переместительного свойств сложения.     

Сущность  среднего арифметического состоит  в следующем. Если каждое наблюдение заменить средним, то общая сумма  не изменится. Это среднее можно  интерпретировать еще и так: если все наблюдения будут равны между собой, а сумма наблюдений останется неизменной, то каждое наблюдение будет равно среднему. Поскольку среднее сохраняет неизменной сумму при равномерном распределении значений, то оно наиболее полезно в качестве обобщающего показателя при отсутствии резко выделяющихся наблюдений, или как их называют, выбросов, т. е. когда набор данных представляет собой более менее однородную группу.     

Пример. Рассмотрим среднюю месячную зарплату работников некоторого предприятия. Пусть, например, в фирме работает 20 человек, зарплата 19 из них составляет 10 000 рублей, а зарплата 10-го, руководителя, - 1 000 000 рублей. Тогда средняя зарплата одного работника на этой фирме будет равна . Хотя среднее и сохранило общую сумму заработной платы, но оно является в данном случае плохим обобщающим показателем: оно плохо характеризует зарплату одного работника на этой фирме. Причина этого кроется в том, что набор данных содержит выброс - 1 000 000 рублей. Среднее оказалось слишком большим для большинства работников и слишком малым для высокооплачиваемого руководителя. 

Среднее арифметическое, как указывалось  выше, является обобщающим показателем, сохраняющим общую сумму при  замене на него каждого значения. Это  свойство особенно полезно в тех  ситуациях, когда необходимо планировать  общую сумму для большой группы. Сначала вычисляют среднее арифметическое для меньшей выборки данных, хорошо представляющей большую группу. Затем полученное значение умножают на количество элементов в большой группе. В результате получают приближенное значение суммы для всей группы. С помощью среднего арифметического решается одна из задач статистики - оценка неизвестного параметра совокупности.     

Пусть дан дискретный вариационный ряд:

 

     Тогда среднее  арифметическое вычисляют с учетом частот следующим образом:

, или  , или .     

Здесь m - количество различных значений, которые принимает признак. Такую форму среднего арифметического иногда называют средним взвешенным.     

Среднее взвешенное можно интерпретировать как среднюю величину для значений x₁, x₂, ..., x_m, используемую в ситуациях, когда одни значения более важны по сравнению с другими. Более важные значения вносят больший вклад в значение среднего взвешенного. Роль весов играют отношения : чем больше частота элемента, тем больший вклад вносит этот элемент в значение среднего взвешенного. Сумма всех весов равна 1.  

Рассмотрим  некоторые свойства среднего арифметического, которые позволяют упростить  его вычисление и которые понадобятся при дальнейшем изучении математической статистики.     

Свойство 1. Среднее арифметическое постоянной величины равно этой постоянной.     

Пусть при исследовании признака x он n раз принимал одно и то же значение c. Тогда

     

Свойство 2. Если каждое значение признака Z равно сумме (разности) значений признаков X и Y, то среднее арифметическое признака Z равно сумме (разности) средних арифметических признаков X и Y.     

Обозначим i-е варианты признаков X, Y, Z через x_i, y_i, z_i. По условию x_i + y_i = z_i. Тогда

     

Аналогично  доказывается свойство и в случае разности.     

Например, из этого свойства вытекает, что  если контрольная работа по геометрии  состоит из двух сюжетных задач, то среднее время, которое идет на выполнение контрольной работы, равно сумме средних времен, которые расходуются на выполнение первой и второй задач.

Свойство 3. Если ко всем вариантам прибавить одно и то же число, то и к среднему арифметическому будет прибавлено то же число.     

Пусть - новые варианты, полученные после прибавления к каждой первоначальной варианте x_i одного и того же числа c. Тогда

     

Рассмотренное свойство позволяет значительно  упростить вычисление среднего арифметического  без использования вычислительных средств, особенно тогда, когда варианты принимают большие значения.     

Это свойство обосновывает произвольный выбор начала отсчета.     

Свойство 4. Если все варианты умножить (разделить) на одно и то же число, то среднее арифметическое умножится (разделится) на то же число.      

Пусть - новые варианты, полученные после умножения каждой первоначальной варианты x_i на одно и то же число c. Тогда

     

На основании  этого свойства можно изменять единицы, в которых выражаются данные.     

Свойство 5. Если все частоты умножить (разделить) на одно и то же число, то среднее арифметическое не изменится.     

Пусть - новые частоты, полученные после умножения каждой первоначальной частоты n_i на одно и то же число c. Тогда

     

На основании  этого свойства при вычислении среднего частоты можно заменять, например, относительными частотами.

Свойство 6. Сумма отклонений вариант от их среднего арифметического равна нулю.     

Отклонение  варианты x_i от среднего арифметического равно разности . Тогда

     

Свойство 7. Сумма квадратов отклонений вариант от их среднего арифметического меньше суммы квадратов отклонений вариант от произвольного числа c на величину .     

В самом  деле,

     

Разность  оказалась положительной (при  ), поэтому сумма больше суммы .     

Свойство 8. Среднее арифметическое, вычисленное по данным всех элементов совокупности, равно взвешенному среднему для так называемых частичных средних, т. е. средних, найденных для отдельных частей совокупности, причем частота для каждого частичного среднего равна количеству элементов в соответствующей части совокупности.     

Пусть совокупность состоит из таких элементов:

x₁, x₂, ..., x_k, y₁, y₂, ..., y_l, z₁, z₂, ..., z_m,

причем  k + l +m = n. 

Поскольку частичные средние соответственно равны

то общее  среднее равно

     

Например, это свойство дает возможность упростить  вычисление среднего арифметического  результатов тестирования учащихся классов одной параллели нескольких школ. Для этого достаточно вычислить среднее арифметическое для каждого класса, а затем вычислить среднее этих частичных средних, приняв в качестве их частот количество учащихся в соответствующих классах.     

Среднее арифметическое позволяет решать задачи, связанные с проверкой гипотез.