Средние величины и вариация показателей. Методология и методика средних величин и показателей вариации

Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности также является условием применения средней величины в анализе. В   случае   больших   отклонений   между   крайними   значениями   и   средней, необходимо      проверить      принадлежность      экстремумов      к     исследуемой совокупности.   Если   сильная   изменчивость   признака   вызвана   случайными, кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности. Следовательно, их следует исключить из анализа, т.к. они оказывают влияние на размер средней величины.

5. Виды средних величин, способы их вычисления

В статистике выделяют несколько видов средних величин:

1. По наличию признака-веса:

а) невзвешенная средняя величина;

б) взвешенная средняя величина.

2. По форме расчета:

а) средняя арифметическая величина;

б) средняя гармоническая величина;

в) средняя геометрическая величина;

г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.

3. По охвату совокупности:

а) групповая средняя величина;

б) общая средняя величина.

Рассмотрим подробнее отдельные виды средних величин:

Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину:

Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней.

Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.

По форме расчета выделяют несколько видов средних величин, которые образованы из единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет форму:

(1)

– показатель степени;

– -тый элемент совокупности;

– число наблюдений (число единиц совокупности).

При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные по форме средние величины.

Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок расчета средней величины:

1. Определение исходного соотношения для исследуемого показателя.

2. Определение недостающих данных для расчета исходного соотношения.

3. Расчет средней величины.

Средняя арифметическая величина

Средняя арифметическая величина – наиболее характерная форма средней, на примере которой можно выявить все свойства средней.

Формула расчет средней арифметической величины имеет следующий вид:

, где   (2)

– значение изучаемого признака для i-того элемента совокупности;

n – число наблюдений (число единиц совокупности).

1) Средняя арифметическая невзвешенная величина

Если показатель степени равен 1, то получаем следующую форму средней:

, где  (3)

– индивидуальные значения признака у отдельных единиц совокупности.

Такая средняя величина называется средней арифметической простой (невзвешенной).

Данная форма средней величины является наиболее распространенной. Она получается путем соотношения суммарного объема индивидуальных значений признака каждого элемента совокупности и числа элементов совокупности.

2) Средняя арифметическая взвешенная величина:

Если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности с тем или иным значением осредняемого признака, то рассчитывается средняя арифметическая взвешенная:

(4)

– индивидуальные значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности;

– значения признака-веса для каждой единицы совокупности.

3) В зависимости от осредняемых данных выделяют несколько случаев применения средней арифметической взвешенной величины:

- расчет средней арифметической взвешенной в случае, если осредняемый признак выражен в абсолютных величинах, а признак-вес представлен первичным показателем;

- расчет средней арифметической взвешенной в случае, если осредняемый признак представлен в интервальном виде, т.е. когда данные, находящиеся в числителе исходного соотношения, рассчитываются следующим образом: сначала определяются середины интервалов (); затем серединное значение для каждого интервала умножается на значение признака-веса для этого интервала (); полученные произведения суммируются (). Полученный таким образом числитель соотносится с суммой значений признака-веса.

- расчет средней арифметической взвешенной, если в качестве осредняемого признака принимается удельный вес (т.е. когда совокупность поделена на подгруппы, в каждой из которых определено количество единиц, обладающих изучаемым признаком, доля таких единиц в общей численности подгруппы, и необходимо рассчитать среднее значение доли во всех подгруппах ()):

(5)

– представленное в абсолютном выражении количество единиц j-ой подгруппы, обладающих изучаемым признаком;

= 1, 2, 3…n – количество всех единиц j-ой подгруппы;

– количество подгрупп в совокупности;

То есть, если при расчете других средних арифметических взвешенных соотносились различные показатели, то средний удельный вес сохраняет те же показатели, которые применялись для расчета индивидуального значения удельного веса. Кроме того, при расчете удельного веса оба соотносимых показателя должны выражаться в абсолютных величинах. Если же необходимые данные отсутствуют, то следует привести показатели к сопоставимому виду.

Средняя гармоническая величина

1) Средняя гармоническая невзвешенная величина.

Если показатель степени равен (-1), то образуется следующая форма средней:

(6)

– индивидуальные значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности.

Такая средняя величина называется средней гармонической простой (невзвешенной). Она взаимосвязана со средней арифметической невзвешенной как величина, обратная средней арифметической, рассчитанная из обратных значений признака.

Средняя гармоническая невзвешенная величина применяется в том случае, если согласно исходному соотношению средней необходимо, чтобы в знаменателе располагались обратные значения осредняемого признака. Данный вид средней применяется также, если значения признаков-весов одинаковы, следовательно, образуется тождество между средней гармонической взвешенной и средней гармонической невзвешенной.

2) Средняя гармоническая взвешенная величина.

Средняя гармоническая взвешенная величина имеет следующий вид:

(7)

– осредняемый признак;

– значения сводного, объемного показателя, выступающего как признак-вес.

Средняя гармоническая взвешенная величина рассчитывается в том случае, если имеющиеся данные предоставляют сведения об объеме определяющего показателя, рассчитываемого как произведение осредняемого признака и признака-веса. И если имеются также сведения об индивидуальных значениях осредняемого признака, а данные об отдельных значениях признака веса отсутствуют.

Такая форма средней применяется, когда необходимо рассчитать:

- общую среднюю из групповых средних величин;

- среднюю относительную величину, если не известна величина, находящаяся в знаменателе осредняемого признака.

Средняя геометрическая величина

1) Средняя геометрическая невзвешенная величина

Если показатель степени равен 0, то получаем следующую форму средней:

(8)

– индивидуальные значения признака у отдельных единиц совокупности;

П– произведение индивидуальных значений осредняемого признака;

n – число элементов совокупности.

Такая средняя величина называется средней геометрической простой (невзвешенной).

Данная форма средней отличается от остальных форм, описанных выше, в той же мере, как арифметическая прогрессия от геометрической. То есть, в случае расчета средних арифметической и гармонической элементы совокупности представляли собой либо:

а) абсолютные величины, которые могли быть просуммированы между собой;

б) относительные величины, которые путем дополнительных расчетов переводились в абсолютные, и затем суммировались.

В данной форме средней элементами исследуемой совокупности являются:

1. Относительные величины, объединенные в ряд динамики, т.е. с учетом фактора времени. Например, темпы роста, или относительные величины планового задания и выполнения плана, или относительные величины сравнения, рассчитанные для нескольких периодов. То есть, в качестве единиц совокупности выступают величины, полученные путем соотнесения различных признаков, поэтому для таких величин средняя рассчитывается через их произведение. Кроме того, как уже указывалось выше, вторичные показатели, которыми являются относительные величины динамики, не могут суммироваться.

Относительные величины динамики (темпы роста) могут рассчитываться с постоянной и переменной базами сравнения, поэтому форма средней геометрической может выглядеть как:

(9)

– темп роста, рассчитанный с переменной базой сравнения (цепным способом);

– темп роста, рассчитанный с постоянной базой сравнения (базисным способом).

То есть, средняя геометрическая рассчитывается как корень степени, равной числу темпов роста (n), где подкоренное выражение составляет произведение цепных темпов роста. Или как корень степени, равной «число уровней ряда динамики минус один» (k-1), где подкоренное выражение соответствует базисному темпу роста, рассчитанному для последнего периода.

2. Максимальная и минимальная величины признака. То есть, в случае если известны лишь экстремальные значения признака (хmin и хmax), то средняя рассчитывается как корень квадратный произведения между ними:

(10)

2) Средняя геометрическая взвешенная

Данная форма средней применяется, когда темпы роста остаются неизменными в течение нескольких периодов. Формула средней геометрической взвешенной определяется следующим образом:

(11)
х – количество периодов, в течение которых темпы роста оставались неизменными

Основные математические свойства средней арифметической:

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

(13)

Данное свойство можно доказывать как математическим, так и графическим путями. Суть их сводится к тому, что сумма отрицательных отклонений от среднего равна сумме положительных отклонений. Поэтому влияние отрицательных отклонений при суммировании нивелируется (взаимно погашается) положительными отклонениями, что и дает нулевой результат.

Необходимо отметить, что данное свойство верно и для взвешенных средних значений.

2. Произведение каждого значения осредняемого признака на соответствующую ему частоту будет тождественно произведению средней величины на сумму частот:

(14)

В данном свойстве отражена сущность средней величины, как результата распределения объема совокупности поровну между всеми ее элементами.

3. Сумма квадратов отклонения индивидуальных значений признака от его средней величины будет меньше, чем сумма квадратов отклонения от любой другой величины.

То есть, если обозначить произвольную величину как «Р», то получим:

(15)

4. Если каждое значение осредняемого признака изменить на какое-либо одно и то же число, то объем средней изменится на это же число.

5. Если каждое значение осредняемого признака изменить в какое-либо число раз, то объем средней изменится в это же количество раз.

         6. Если каждое значение признака-веса или частоты осредняемого признака изменить в одно и то же число раз, то величина средней не изменится. Данным свойством удобно пользоваться в том случае, если необходимо быстро проанализировать совокупность с большим количеством элементов, и факторный признак выражен многозначными числами. Крайним проявлением указанного свойства является равенство всех весов, которые в таком случае при расчете средней величины можно не принимать во внимание, т.е. среднюю рассчитывать как не взвешенную.

6. Расчёт относительных и абсолютных показателей

Рассмотрев и изучив теоретические вопросы курсовой работы, проведём расчёты на основе исходных данных статистического наблюдения, представленных в таблице 1. Данные увеличены на 60.

Таблица 1. Данные статистического наблюдения о продаже яблок на 5 рынках города