Средні величини та показники варіації

Средні величини та показники варіації

Мода  і медіана.

Мода (М0) — це значення ознаки, що найчастіше зустрічається у сукупності. Таким чином, у дискретному ряді розподілу -  це варіанта, що має найбільшу частоту. В інтервальному ряді розподілу мода знаходиться за формулою:

 

де:

 — нижня  межа модального інтервалу;

i     — величина модального інтервалу;

— відповідно частота  модального, передмодального та після модального інтервалів.

Слід мати на увазі, що в інтервальних рядах розподілу з нерівними інтервалами модальним вважається інтервал з найбільшою щільністю розподілу, а мода дорівнює його середині.

Медіана (Ме) — це значення ознаки, що ділить рангований ряд значень показника на дві рівні частини. У першої половини одиниць значення ознаки менше медіани, а у другої — більше. Тобто, медіана — це серединне значення.

У тому випадку, коли відомі індивідуальні значення ознаки, їх спочатку рангують (розміщують в порядку зростання чи спадання). Потім визначають номер (місце) медіани:

 

При непарній кількості одиниць медіана дорівнює значенню ознаки з порядковим номером (n + 1)/2 . При непарній кількості одиниць медіана визначається як півсума двох значень — з порядковими номерами n/2 та (n + 2)/2.

 

 

В інтервальному ряді розподілу медіана визначається за формулою:

 

 

Де:

 — нижня межа медіанного інтервалу;

і     — величина інтервалу;

   — нагромаджена  частота передмедіанного інтервалу;

  — частота медіанного інтервалу.

Приклад розрахунку моди і медіани для інтервального ряду розподілу:

Розмір штрафу, грн.	Число штрафів	Нагромаджена частота ()
До 100	4	4
100-200	20	24
200-300	26	50
300-400	15	65
400-500	8	73
500-600	3	76
600-700	2	78
700і більше	2	80

Мода дорівнює:

Mo=200+100=235,3 грн.

Медіана становить:

Me=200+100=261,5 грн.

Таким чином, найчастіше розмір штрафу становить 235,3 грн, половина штрафів менше 261,5 грн, а половина — більше.

 

 

 

Показники варіації: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Варіація – це одна із властивостей статистичної  сукупності.

Вона може бути обумовлена дією безлічі  взаємопов’язаних причин. Вивчення варіації має велике значення для оцінки сталості та диференціації соціально-економічних  явищ, при використанні вибіркового  та інших статистичних методів.

Варіація – це коливання, мінливість значень будь-якої ознаки у статистичній сукупності відносно їх середнього значення. Вивчення розміру відхилень ( коливань ) значень ознаки окремих одиниць сукупності відносно середнього їх значення використовують для оцінки кількісної однорідності сукупності. Чим менша варіація ознаки, тим одно рідніша сукупність.

При цьому розраховують такі показники:

• розмах варіації ( R );
• середнє лінійне відхилення ( D);
• дисперсію (Q);
• середнє квадратичне відхилення (Q );
• коефіцієнт варіації (V ).

Показники варіації визначаються наступним чином:

Розмах варіації – це різниця між найбільшим та найменшим значенням ознаки:    

R = Х МАХ – ХMIN

 Розмах варіації дає уявлення лише про межі коливання ознаки, оскільки він враховує тільки два крайніх значення і не враховує відхилень усіх варіантів.

Середнє лінійне відхилення становить середню з абсолютних відхилень усіх варіантів від середнього значення варіаційної  ознаки.

Дисперсія – це середній квадрат відхилень всіх значень ознаки від її середньої величини. Визначають її за двома формулами.

Середнє квадратичне відхилення характеризує середнє коливання ознаки в сукупності, зумовлене індивідуальними особливостями одиниць сукупності. 

Не згруповані показники визначаються у тих випадках, коли середня величина розраховується за формулою середньої  арифметичної простої, і , відповідно, зважені, якщо середня визначається за формулою зваженої. Вимірюються вони у тих же одиницях, що й сама ознака.

Коефіцієнт варіації вказує на відносну міру коливання ознаки навколо середньої величини, вимірюється в процентах.

Якщо величина коефіцієнта варіації знаходиться в межах до 15%, то це свідчить про невелике коливання  ознаки навколо середньої величини і вказує на якісну однорідність сукупності. Якщо величини коефіцієнта варіації знаходиться в межах від 15% до 30%, то варіація ознаки вважається середньою, а сукупність можна вважати майже  однорідною,  якщо ж коефіцієнт варіації перевищує 30%, то варіація є сильною, а сукупність неоднорідною.