Ряды динамики

Система средних  показателей динамики включает:  
средний уровень ряда,  
средний абсолютный прирост,  
средний темп роста,  
средний темп прироста.

Средний уровень ряда – это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной последовательности. Расчет среднего уровня ряда динамики определяется видом этого ряда и величиной интервала, соответствующего каждому уровню.

Для интервальных рядов с равными периодами  времени средний уровень Y рассчитывается следующим образом:

где n или (n +1) –  общая длина временного ряда или  общее число равных временных  отрезков, каждому из которых соответствует  свой уровень Y_i (1 = 1, 2, ..., n или 1 = 0, 1, 2, ..., n).

Средний абсолютный прирост рассчитывается по формулам в зависимости от способа нумерации интервалов (моментов).

.

Средний темп роста:

где – средний коэффициент роста, рассчитанный как . Здесь К_цеп – цепные коэффициенты роста;

Средний темп прироста (%) определяется по единственной методологии:

 
 
 
 
 
 
 
 

1.3. Изучение тенденции развития

Всякий ряд  динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих: 
1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его уровней); 
2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;  
3) случайные колебания.

Изучение тренда включает два основных этапа: 
1) ряд динамики проверяется на наличие тренда; 
2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Непосредственное  выделение тренда может быть произведено тремя методами.

1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7 и т.д. точек) или четным (2, 4, 6 и т.д. точек).

При нечетном сглаживании  полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном этого делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50 %.

Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной.

3. Аналитическое выравнивание. Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели

где f(t) – уровень, определяемый тенденцией развития;

e_t – случайное и циклическое отклонение от тенденции.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Чаще всего  при выравнивании используются следующие  зависимости:

Линейная  зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая  зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные  зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.п.).

Оценка параметров (a₀, a₁, a₂, ...) осуществляется следующими методами: 
1) методом избранных точек, 
2) методом наименьших расстояний, 
3) методом наименьших квадратов (МНК).

В большинстве  расчетов используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных:

Для линейной зависимости (f(t)=a₀+a₁t) параметр а₀ обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а₁ – сила связи, т.е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост. Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера (F). Фактический уровень (F_факт) сравнивается с теоретическим (табличным) значением:

где k – число  параметров функции, описывающей тенденцию;  
n – число уровней ряда;

F_факт сравнивается с F_теор при v₁ = (k-1), v₂ = (n-k) степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если F_факт > F_теор, уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.

Выравнивание  проведено по линейной трендовой  модели. Оценка параметров уравнения выполнена методом наименьших квадратов.

Таким образом, f(t) = у_t = 10,128-0,073t для t= -13, -11, -9, ..., +13, или f(t) = у_t = 11,077-0,1461 для t = 0, 1, ..., 13.

Параметры последнего уравнения регрессии можно интерпретировать следующим образом: a₀ = 11,077 – это исходный уровень брачности по России за период до 1990 г.; а₁ = -0,146 – показатель силы связи, т.е. в России за период с 1990 по 2003 г. происходило снижение уровня брачности на 0,146 ‰ ежегодно.

В качестве примера  рассмотрим число зарегистрированных браков на 1000 жителей России за период с 1990 по 2003 г.:

Следующий шаг  аналитического выравнивания – оценка надежности уравнения регрессии:

Таким образом, F_теор = 4,747; a = 0,05; v₁ (k-1) = 1; v₂ = (n-k) = 12 и F_теор = 9,330 при a = 0,01, v₁ = 1, v₂ = 12.

F_факт > F_теор, и уравнение прямой адекватно отражает сложившуюся в исследуемом ряду динамики тенденцию. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

Массовые явления развиваются в пространстве и во времени. Изучение происходящих при этом изменений является одной из важнейших задач статистики. 
Процесс развития массового явления во времени принято возникать динамикой, а показатели, характеризующие это развитие – статистическими рядами динамики. Следовательно: 
Рядами динамики называются статистические данные, отображающие развитие явления в последовательные моменты или периоды времени. 
Дело в том, что изменения массового явления во времени есть результат взаимодействия разнообразных причин и условий. Отсюда динамика отрицает совокупное действие их через время как собирательный фактор всех других. 
В любом ряду динамики имеется два основных элемента: 1) показатель времени t; 2) соответствующие им уровни ряда (уровни развития изучаемого явления). 
В качестве показателя времени в рядах динамики выступают или определенные даты (моменты) времени, или отдельные периоды времени (годы, кварталы, месяца, сутки). 
Уровни рядов динамики количественную оценку (меру) развития во времени исследуемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными, средними или приростными величинами. 
Ряды динамики, как правило, представляют в виде таблицы или графически. При графическом изображении ряда динамики (динамического ряда) на оси абсцисс строится шкала времени, а на оси ординат – шкала уравнений ряда (арифметическая или иногда логарифмическая). Изучение рядов динамики осуществляется в разных направлениях анализа состояния . 
Закономерности в изменении уравнений ряда в одних проявляется довольно наглядно, в других они могут затушевываться влиянием случайных или других причин. Во всех случаях одной из первых задач статистики исследования является выявление основной тенденции (основного направления) изменения уровней ряда, именуемой «трендом» а чаще количественная оценка темпов развития.