Распределение Пуассона

Задача  №5. (53). Отдел технического контроля проверил n партий однотипных изделий и установил, что число Х нестандартных изделий в одной партии имеет эмпирическое распределение, приведенное в таблице, в одной строке которой указано количество xi нестандартных изделий в одной партии, а в другой строке – количество ni партий, содержащих xi нестандартных изделий. Требуется при уровне значимости α=0.05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х (число нестандартных изделий в одной партии) распределена по закону Пуассона.

Решение:

Средняя взвешенная

                  =>    

Проверим гипотезу о том, что Х распределено по закону Пуассона.

, где 

где p_i  — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону; λ = x_ср.

Проведем необходимые  вычисления:

i = 0: p₀ = 0,389  np₀ = 389

i = 1:  p₁ = 0,367  np₁ = 367

i = 2: p₂ = 0,173  np₂ = 173

i = 3: p₃ = 0, 0545  np₃ = 54,5495

i = 4: p₄ = 0, 0129  np₄ = 12,8737

i = 5:  p₅ = 0.002431,  np₅ = 2,43055

i = 6:  12=10 + 2 => Объединим интервалы, т.к. наблюдаемая частота мала.

Тогда получим 12,87 + 2,43=15,3 ожидаемая частота.

Полученные данные занесем в расчетную таблицу.

     Определим границу критической области. Так  как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и  теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение  K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

     Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+∞).

Её границу  K_kp = χ²(k-r-1;α) находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям s, k (число интервалов), r=1 (параметр λ).

     Kkp = 9.48773; Kнабл = 1.65

     Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют распределение Пуассона.