Основы дисперсионного анализа

 

Из нее получаем:

х=620,6/100=6,206;

D_в = 4879,91/100 – (6,206)² = 10,284664;

σ_в= ₌ 3,206971157.

Выборочная дисперсия  является смещенной оценкой генеральной  дисперсии, а исправленная дисперсия - несмещенной.

D_в = * D_в = 100/99 *10,284664=10,38854949;

σ_в= ₌3,206971157;

д) Согласно критерию Пирсона, сравниваем эмпирические и теоретические  частоты. Эмпирические частоты даны, следовательно, необходимо рассчитать теоретические частоты. Для этого  пронумеруем Х, то есть перейдем к  СВ z=(х-х)*σ_в и вычислим концы интервалов:z_i=(x_i-x)/σ_в,            z_i+1 = (x_i+1 –x)/σ_в, причем наименьшее значение z, то есть z1, положим стремящимся к минус бесконечности, а наибольшее к плюс бесконечности. Результаты сводим в таблицу 5.

Таблица 5.Результаты расчетов

 

i	Границы интервала xi; xi+1		xi-x	xi+1-x	Границы интервала (zi; zi+1)
	xi	xi+1			zi=(xi-x)/σв	zi+1=(xi+1-x)/σв
1	0,2	1,5		-4,706		-1,47
2	1,5	2,8	-4,706	-3,406	-1,47	-1,06
3	2,8	4,1	-3,406	-2,106	-1,06	-0,66
4	4,1	5,4	-2,106	-0,806	-0,66	-0,25
5	5,4	6,7	-0,806	0,494	-0,25	0,15
6	6,7	8	0,494	1,794	0,15	0,56
7	8	9,3	1,794	3,094	0,56	0,96
8	9,3	10,6	3,094	4,394	0,96	1,37
9	10,6	11,9	4,394		1,37

 

Находим теоретические вероятности  Р_i и теоретические частоты                    n’_i =nP_i= 100P_i. Составим расчетную таблицу 6.

Таблица 6.Расчетная  таблица.

i	Границы интервала zi; zi+1		Ф( zi)	Ф( zi+1)	Pi =Ф( zi+1)-Ф( zi)	n'i=100Pi
	zi	zi+1
1		-1,47	-0,5	-0,4292	0,0708	7,08
2	-1,47	-1,06	-0,4292	-0,3554	0,0738	7,38
3	-1,06	-0,66	-0,3554	-0,2454	0,11	11
4	-0,66	-0,25	-0,2454	-0,0987	0,1467	14,67
5	-0,25	0,15	-0,0987	0,0596	0,1583	15,83
6	0,15	0,56	0,0596	0,2123	0,1527	15,27
7	0,56	0,96	0,2123	0,3315	0,1192	11,92
8	0,96	1,37	0,3315	0,4147	0,0832	8,32
9	1,37		0,4147	0,5	0,0853	8,53
∑					1	100

 

Вычислим наблюдаемое  значение критерия Пирсона. Для этого  составим таблицу расчетов №7. Последние  два столбца служат для контроля вычислений по формуле 

χ²_набл = – n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 7.Значения расчетов

i	ni	n'i	ni-n'i	(ni-n'i)^2	(ni-n'i)^2 /n'i	n i^2	n i^2/n'i
1	10	7,08	2,92	8,5264	1,2043	100	14,1243
2	9	7,38	1,62	2,6244	0,3556	81	10,9756
3	8	11	-3	9	0,8182	64	5,8182
4	14	14,67	-0,67	0,4489	0,0306	196	13,3606
5	14	15,83	-1,83	3,3489	0,2116	196	12,3816
6	13	15,27	-2,27	5,1529	0,3375	169	11,0675
7	11	11,92	-0,92	0,8464	0,0710	121	10,1510
8	10	8,32	1,68	2,8224	0,3392	100	12,0192
9	11	8,53	2,47	6,1009	0,7152	121	14,1852
Σ	100	100		38,8712	4,0832	1148	104,0832

 

 

Произведем контроль: –n = =104,0832 -100=4,0832. По таблице критических точек распределения χ², уровню значимости a=0,025   и числу степеней свободы k= l – 3= 9 - 3= 6 (l - число интервалов) находим χ²_кр= 14,4.

Так как  χ²_набл< χ²_кр, то гипотеза Но о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.

е) Если СВ Х генеральной  совокупности распределена нормально, то с надежностью γ можно утверждать, что математическое ожидание а СВ Х покрывается доверительным интервалом (х - t_γ; х + t_γ), где t_γ=δ- точность оценки. В нашем случае х=6,206; σ_в = 3,20697; n=100. Из приложения 4 для γ=0,95  находим t_γ=1,984  и δ=Доверительный интервал для а будет (5,5697;6,8423). Доверительный интервал, покрывающий среднее квадратичное отклонение σ с заданной надежностью γ (σ_в(1-q); σ_в(1+q)), где q находим по данным γ и n из приложения 9. При γ=0,95 и n=100 имеем q=0,143 . Доверительным интервалом для σ будет (2,748;3,666).

 

ИДЗ-19.2

Дана таблица распределения 100 заводов по производственным средствам  Х(тыс.ден.ед.) и по суточной выработке  Y(т). Известно, что между Х и Y существует линейная корреляционная зависимость.

 

Таблица 7. Распределение  заводов по производственным средствам

	21	21,3	21,6	21,9	22,2	22,5	22,8	23,1	mx
0,9	1	3	2						6
1,05		4	2	3					9
1,2			5	7	6				18
1,35				6	14	9			29
1,5					7	6	7		20
1,65						6	7	5	18
my	1	7	9	16	27	21	14	5	100

 

а) Для подсчета числовых характеристик: выборочных средних  х и y, выборочных средних квадратичных отклонений s_x и s_y и выборочного корреляционного момента s_xy составим расчетную таблицу 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

При заполнении таблицы осуществим контроль по строкам и столбцам:

_{= =} n=100;

=_=135,3;

=_=2221,5;

== 49373,37;

Вычислим выборочные средние  x и y, где i от 1 до 6 и j от 1 до 8;

x= = ₌ =1,355;

y= ₌ = 22,215;

Выборочные дисперсии  находим по формулам:

Sx² = ( _- (_)^2) = 1/99(187,56– 0,01(135,3)²)=0,04;

Sy² = ( _- (_{) ) = 1/99(}49373,37– 0,01(2221,5)²)= 0,23;

Sx≈ =0,2;

Sy≈ =0,48;

Корреляционный момент вычисляем  по формуле:

Sxy = ( - (_{)() = 1/99(}3014,505– 0,01(135,3*2221,5)) =0,07;

Оценкой теоретической линии  регрессии является эмпирическая линия  регрессии, уравнение которой имеет  вид:

y= y + r_xy (x- x), где

r_xy = = ;

составим уравнение эмпирической линии регрессии y на х,

y = 22,215+ 0,73(x –1,355),

y= 22,215+ 1,752(x-494,7);  y=19,84+1,752x;

 

б) Строим линию регрессии  и разные точки (x_i; y_j).

Таблица 9. Расчетная таблица  для графика

х
Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Данная курсовая работа посвящена  теории вероятностей и математической статистики. Мы изучили такие явления  как доверительные интервалы  и интервальные оценки параметров распределения. Произвели статистическую обработку  результатов измерений, выполнили  два индивидуальных задания. Приобретенный  навык нам понадобится не только на практических занятиях в университете, но и в жизни, будущей профессии  экономиста.