Модели и методы анализа проектных решений

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВГТУ)

 

Факультет вечернего  и заочного обучения

 

Кафедра компьютерных интеллектуальных технологий проектирования

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА

 

по дисциплине: «Модели и методы анализа проектных решений»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка 3 курса,

группа 

 

Проверила:

 

 

 

 

 

 

 

Воронеж 2012

 

Вариант 6

1. Преобразования математических моделей в процессе  
получения рабочих программ анализа

Реализация функциональных ММ на ЭВМ  подразумевает выбор численного метода решения уравнений и преобразование уравнений в соответствии с особенностями  выбранного метода. Конечная цель преобразований — получение рабочей программы анализа в виде последовательности элементарных действий (арифметических и логических операций), реализуемых командами ЭВМ. Все указанные преобразования исходной ММ в последовательность элементарных действий ЭВМ выполняет автоматически по специальным программам, создаваемым инженером-разработчиком САПР. Инженер-пользователь САПР должен лишь указать, какие программы из имеющихся он хочет использовать. Процесс преобразований ММ, относящихся к различным иерархическим уровням, иллюстрирует рисунок 1.6 [5].

Инженер-пользователь задает исходную информацию об анализируемом объекте  и о проектных процедурах, подлежащих выполнению, на удобном для него проблемно-ориентированном входном языке программного комплекса. Ветви 1 на рис. 1.6 соответствует постановка задачи, относящейся к микроуровню, как краевой, чаще всего в виде ДУЧП. Численные методы решения ДУЧП основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи. Дискретизация заключается в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных для исследования пространственном и временном интервалах; алгебраизация — в замене производных алгебраическими соотношениями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.6. Преобразование математических моделей

 

Применяют различные способы дискретизации и алгебраизации переменных при решении ДУЧП. Эти способы составляют сущность методов числового решения; большинство используемых методов относится либо к методам конечных разностей, либо к методам конечных элементов. Если ДУЧП стационарное (т. е. описывает статические состояния), то дискретизация и алгебраизация преобразует ДУЧП в систему алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных (ветвь 2 на рис. 1.6). Если ДУЧП нестационарное (т. е. описывает изменяющиеся во времени и пространстве поля переменных), то дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящей из двух этапов:

1. устранение производных по пространственным координатам (ветвь 3), результат — система ОДУ;
2. устранение производных по времени (ветвь 4).

Для числового решения ОДУ при заданных начальных условиях (задача Коши) разработано большое количество численных методов, причем многие из эффективных методов получили развитие под влиянием потребностей автоматизированного проектирования. Специфика алгебраизации производных по времени и обусловливает целесообразность выделения для ветви 4 специальных средств математического и программного обеспечения, отличных от таких же средств для ветвей 2 и 3.

Сведение  задачи решения алгебраических уравнений  к последовательности элементарных операций может быть либо непосредственным (ветвь 5), например, на основе методов простых итераций или релаксации, либо через посредство предварительной линеаризации уравнений (ветвь 6), Что составляет сущность метода Ньютона. Решение, системы линейных алгебраических уравнений в этом случае (ветвь 7) выполняется с помощью прямых методов, например метода Гаусса.

Ветви 8 на рис. 1.6 соответствует преобразование исходного описания задачи, относящегося к макроуровню, в систему ОДУ с известными начальными условиями. Если это система нелинейных ОДУ, то дальнейшие преобразования происходят по охарактеризованным выше ветвям 4, 6, 7 или 4, 5; если же система линейных ОДУ, то целесообразен непосредственный переход к системе линейных алгебраических уравнений (ветвь 9).

Для анализа объектов на метауровне применяют либо переход к системе  ОДУ (ветвь 10), либо переход к системам логических уравнений, моделям массового обслуживания или аналитическим моделям, отображающим упрощенно технико-экономические показатели объекта (ветвь 11). Сведение этих форм моделей в последовательность элементарных вычислительных операций (ветвь 12) не вызывает затруднений.

Сказанное показывает важное значение, отводимое в математическом обеспечении САПР численным методам решения систем ОДУ, нелинейных и линейных алгебраических уравнений. Из рис. 1.6 также видно, что такие системы уравнений приходится решать при проектировании объектов на микро- и макроуровнях, а часто и на метауровне. От эффективности этих методов существенно зависит общая эффективность выполнения проектных процедур функционального проектирования.

Переход от исходного дифференциального  уравнения  
к интегральному

При решении краевых задач приближенные модели технических объектов можно строить на основе интегральных уравнений. При этом первый шаг на пути к решению состоит в переходе от дифференциальных уравнений в частных производных к эквивалентным интегральным уравнениям. Во многих случаях, когда такой переход оказывается успешным, решение исходной задачи может быть получено с минимальными вычислительными затратами и высокой степенью точности. Кроме того, размерность исходной задачи понижается на единицу, двухмерные задачи преобразуются в одномерные.

Рассмотрим на простом примере алгоритм перехода. В двумерной однородной области произвольной формы с коэффициентом проницаемости k требуется найти распределение функции φ, описанной уравнением

 

,            (2.93)

которое является частным случаем  квазигармонического уравнения при x₁ = x, x₂ = y.

 

На границе L рассматриваемой области заданны граничные условия первого рода

 

φ(x₀) = g(x₀).             (2.94)

 

Этап 1. Нахождение сингулярного решения. В МГЭ используется то обстоятельство, что для большинства уравнений в частных производных существуют сингулярные (фундаментальные) решения, отвечающие единичным возмущающим воздействиям в неограниченной области. Для рассматриваемой задачи сингулярное решение записывается в виде

 

φ(x) = G(x, ξ)g(ξ),            (2.95)

где φ(x) — значение искомой функции в произвольной точке области; g(ξ) — единичное возмущающее воздействие, приложенное в точке ξ.

Начала координат для систем х и ξ совпадают. Величина G(x, ξ) определяется, в свою очередь уравнением

 

,

где и r₀ выбрано так, что G = 0 при r = r₀. Уравнение (2.95) определяет искомую функцию φ(x) относительно некоторого нулевого значения при r = r₀.

Этап 2. Введение фиктивных источников. Рассматриваемая область G₁ «помещается» в бесконечную область, для которой известно решение (2.95). Потребуем, чтобы значения φ(x) на границе области совпадали с заданным граничным условием (2.94). Чтобы это требование выполнялось, введем на границе фиктивные источники неизвестной интенсивности p(ξ) в расчете на единицу длины границы L. Подставив p(ξ) в (2.95) и проинтегрировав его по длине границы, получим; искомое решение:

 

.          (2.96)

 

В результате проделанных действий от исходного дифференциального уравнения (2.93) удалось перейти эквивалентному интегральному уравнению (2.96), в котором появилась произвольная постоянная С, обеспечивающая единственное решение в связи с тем, что функция φ(x) рассчитывается относительно некоторого нулевого значения. В дальнейшем С подбирается таким образом, чтобы суммарное «излучение» от всех источников обращалось в нуль на бесконечно удаленной границе. Для обеспечения заданных граничных условий необходимо, чтобы выполнялось равенство

 

.         (2.97)

На основании равенства (2.97) строится система интегральных уравнений относительно неизвестных фиктивных источников p(ξ). После того как они будут найдены, значения искомой функции φ(x) в любой внутренней точке области легко определяются из (2.96).

Если бы (2.97) удалось проинтегрировать аналитически, то для исходной задачи было бы найдено точное решение. На практике (2.97) решается приближенно, что является единственным источником погрешности в МГЭ.