Линейная парная регрессия

Вариант 10

Таблица D.1

Номер региона	Среднедушевой прожиточный  минимум в день одного трудоспособного, руб.,	Среднедневная заработная плата, руб.,
1	97	161
2	73	131
3	79	135
4	99	147
5	86	139
6	91	151
7	85	135
8	77	132
9	89	161
10	95	159
11	72	120
12	115	160

 

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии от .
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.
4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

 

 

 

 

 

 

Решение.

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу D.2.

Таблица D.2

1	97	161	15617	9409	25921	152,4	8,6	5,3
2	73	131	9563	5329	17161	130,32	0,68	0,5
3	79	135	10665	6241	18225	135,84	-0,84	0,6
4	99	147	14553	9801	21609	154,24	-7,24	4,9
5	86	139	11954	7396	19321	142,28	-3,28	2,4
6	91	151	13741	8281	22801	146,88	4,12	2,7
7	85	135	11475	7225	18225	141,36	-6,36	4,7
8	77	132	10164	5929	17424	134	-2	1,5
9	89	161	14329	7921	25921	145,04	15,96	9,9
10	95	159	15105	9025	25281	150,56	8,44	5,3
11	72	120	8640	5184	14400	129,4	-9,4	7,8
12	115	160	18400	13225	25600	168,96	-8,96	5,6
Итого	1058	1731	154206	94966	251889	1731,28	-0,28	51,2
Среднее значение	88,2	144,3	12850,5	7913,8	20990,8	–	–	4,3
	11,85	13,52	–	–	–	–	–	–
	140,47	182,69	–	–	–	–	–	–

 

Получаем уравнение  регрессии:

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

           

 Это означает, что 65% вариации заработной платы ( ) объясняется вариацией фактора – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество построенной  модели оценивается как хорошее, так как  не превышает 8-10%.

3. Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы  и составляет . Так как, то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с  помощью  -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит .

Определим случайные ошибки , , :

 

Тогда

Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:

       

поэтому параметры  , и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные  интервалы для параметров регрессии  и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

 

4.  Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:

руб., тогда прогнозное значение заработной платы составит: руб.

 

5. Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным ( ) и находится в пределах от 130,6 руб. до 169,4 руб.

 

 

 

 

 

 

 

6. В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис. D.1):

 

 

Рис. D.1.