Линейная модель парной регресии

 

Коэффициент регрессии надежно  отличается от нуля (отвергается нулевая  гипотеза Н0), если tнабл > ta;n-2. В этом случае вероятность нулевой гипотезы (Prob

.) будет меньше выбранного  уровня значимости. ta;n-2 - критическая  точка, определяемая по математико-статистическим  таблицам.

 

Проверка значимости уравнения  регрессии производится на основе дисперсионного анализа.

 

Согласно основной идее дисперсионного анализа

 

    (22)

 

или

 

Q = QR + Qe,                                                     (23)

 

где Q – общая сумма  квадратов отклонений зависимой  переменной от средней, а QR и Qe – соответственно сумма квадратов, обусловленная  регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов.

 

Схема дисперсионного анализа  имеет вид, представленный в табл. 1.

 

Средние квадраты  и s2 (табл. 1) представляют собой несмещенные  оценки дисперсий зависимой переменной, обусловленных соответственно регрессией или объясняющей переменной Х  и воздействием неучтенных случайных  факторов и ошибок; m – число оцениваемых  параметров уравнения регрессии; п  – число наблюдений.

 

При отсутствии линейной зависимости  между зависимой и объясняющими(ей) переменными случайные величины  и  имеют c2-распределение соответственно с т – 1 и п – т степенями  свободы.

 

Таблица 1

Компоненты дисперсии 

Сумма квадратов 

Число

 степеней свободы 

Средние

 квадраты

 

Регрессия 

 

m – 1 

 

 

Остаточная 

 

n – m 

 

 

Общая 

 

n – 1 

 

 

 

 

Поэтому уравнение регрессии  значимо на уровне a, если фактически наблюдаемое значение статистики

 

,                           (24)

 

где  - табличное значение F-критерия Фишера-Снедекора, определяемое на уровне значимости a при k1 = m – 1 и k2 = n – m степенях свободы.

 

Учитывая смысл величин  и s2, можно сказать, что значение F показывает, в какой мере регрессия  лучше оценивает значение зависимой  переменной по сравнению с ее средней.

 

Для парной линейно регрессии  т = 2, и уравнение регрессии значимо  на уровне a (отвергается нулевая  гипотеза), если

 

.                               (25)

 

Следует отметить, что значимость уравнения парной линейной регрессии  может быть проведена и другим способом, если оценить значимость коэффициента регрессии b1, который  имеет 

t-распределение Стьюдента  с k = n – 2 степенями свободы.

 

Уравнение парной регрессии  или коэффициент регрессии b1 значимы  на уровне a (иначе – гипотеза Н0 о  равенстве параметра b1 нулю, т.е.

Н0:b1 = 0, отвергается), если фактически наблюдаемое значение статистики

 

                                   (26)

 

больше критического (по абсолютной величине), т.е. |t| > t1 - a; n

- 2.

 

Коэффициент корреляции r значим на уровне a (Н0: r = 0), если

 

.                                  (27)

 

Одной из наиболее эффективных  оценок адекватности регрессионной  модели, мерой качества уравнения  регрессии, характеристикой прогностической  силы анализируемой регрессионной  модели является коэффициент детерминации, определяемый по формуле:

 

.                                           (28)

 

Величина R2 показывает, какая  часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей  переменной.

 

В случае парной линейной регрессионной  модели коэффициент детерминации равен  квадрату корреляции, т.е. R2 = r2.

 

Доверительный интервал для  индивидуальных значений зависимой  переменной .

 

- t1 – a; n - 2× £  £  + t1 - a; n - 2×,                     (29)

 

где  - оценка дисперсии  индивидуальных значений у0 при х = х0.

 

Доверительный интервал для  параметров регрессионной модели.

 

         (30)