Бернулли теңдеуі

Бернулли  теңдеуі

    Сығылмайтын тұтқыр емес сұйықтың қималары әр түрлі ағын түтігі ішінде қозғалыс жылдамдығы мен қысымның арасындағы  байланысты көрсетеді. Әрине, мұнда сұйықтың ішкі күштерінің жұмысы нөлге тең екендігін ескерту қажет. Сонымен қатар сұйық  пен құбыр қабырғаларының арасында үйкеліс жоқ деп есептейміз, сұйық қозғалысы барынша қалыптасқан және ағын сызықтары  аз ғана иілген болсын.  

    Ол  үшін аудандары S₁ және S₂ көлденең қималары АВ және СD -мен шектелген ағын түтігі бөлігін алайық (25-сурет). Қиманың аудандары өте кішкене болғандықтан одан өтетін сұйық бөлшектерінің жылдамдығы мен қысымы тұрақты болып отырады.

    Енді  осы түтік ішіндегі сұйық ағысына Ньютонның екінші заңын  қолдана отырып, оның қозғалыс теңдеуін жазайық.  Сонда сұйық идеал сұйық болғандықтан энергия шығыны жоқ деп есептеп, энергияның сақталу заңын қолданамыз.

    Егер  сұйық қозғалмайтын болса, онда массасы m сұйықтың потенциалдық энергиясы:                                                   

                                                            (6.26.1)

    Егер  сұйықтың қозғалу жылдамдығы v болса, оның кинетикалық энергиясы болатынын ескеріп толық энергияны мына түрде жазуға болады:                              

    Сонда S₁ қима арқылы Δt уақыт ішінде ағып өтетін сұйықтың Δm₁ массасының толық энергиясы  ΔE₁  сол уақытта S₂ қимасы арқылы ағып  өтетін сұйықтың Δm₂ массасының толық энергиясына ΔE₂ тең болады. Сұйықтың тығыздығы ρ болса, онда

    Энергияның  сақталу заңына сүйеніп, бұл өрнектердің оң жақтарын теңестірсек және оларды                                      

шамасына  бөлсек, онда мына теңдікті аламыз:                                        

                                                    (6.26.2)

мұндағы γ=ρg деп, теңдікті былайша түрлендіреміз:                                        

    Егер  бұл теңдікті кез келген құбырдың қимасы үшін жазсақ, онда                                      

                                                       (6.26.3)

    Бұл формула Бернулли теңдеуі деп аталады.

    Сонымен Бернулли теңдеуі қалыптасқан ағыстағы идеал сұйық қысымын оның жылдамдығының өзгерісі мен геометриялық биіктігімен байланыстырады. Бернулли теңдеуі, сонымен қатар сұйықтың бірлік көлеміндегі энергияның сақталу заңын тұжырымдайды, яғни мұндағы  - сұйықтың бірлік көлеміндегі кинетикалық энергия, pgh - ауырлық күш өрісіндегі потенциалдық энергия, P- бірлік көлеміндегі сұйықты бірлік биіктікке көтеру үшін істелетін жұмыстың қысым күші.

    Ал (6.26.2) өрнектің құрамындағылардың барлығы  да ұзындық өлшеммен өрнектеледі: h₁ және h₂ - геометриялық биіктік,    және  – пьезометрлік биіктік,   және   - жылдамдық немесе динамикалық қысым.

    Сонымен Бернулли теңдеуінде мынадай негізгі  екі физикалық мәселе атап көрсетілген:

  1)       берілген ағын түтігінің барлық ұзындығы  бойына кинетикалық және  потенциалдық энергияның қосындысы тұрақты шама болып отырады;

  2)       түтіктің әрбір қимасы үшін үш биіктіктің қосындысы (пьезометрлік, геометриялық биіктіктер мен жылдамдық) тұрақты болып қалады.