Анализ работы двухканальной системы массово обслуживания с не ограниченной очередью на примере сортировочной станции

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Уральский государственный университет  путей сообщения

 

Кафедра высшей и прикладной математики

 

 

 

 

 

Комплексный курсовой проект

 

на тему Анализ работы двухканальной системы массово обслуживания с не ограниченной очередью на примере сортировочной станции (вариант 2)

 

 

 

Проверил                                                    Выполнил

преподаватель                                            студент гр. ИТу-211

В.В. Башуров                                 № зач. кн. 11-ИТу-621

                                                           Д.А.Сентябов                                                  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург

2013

Содержание

 

Введение 3

Общие понятие теории массового обслуживания 4

Постановка задачи 8

Решение 8

Список использованных источников 14

 

 

 

Введение

Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и  математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского ученого  А.К. Эрланга(1878-1929),с его трудами  в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.

Теория массового обслуживания — область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцель и др.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между  характером потока заявок, числом каналов  обслуживания, производительностью  отдельного канала и эффективным  обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими  процессами. Задачи теории массового  обслуживания носят оптимизационный  характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению  такого, варианта системы, при котором  будет обеспечен минимум суммарных  затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

В коммерческой деятельности применение теории массового обслуживания пока не нашло желаемого распространения.

В основном это связано с трудностью постановки задач, необходимостью глубокого  понимания содержания коммерческой деятельности, а также надежного  и точного инструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различные варианты последствий  управленческих решений.

Общие понятие теории массового обслуживания

Природа массового обслуживания, в  различных сферах, весьма тонка и сложна. Коммерческая деятельность связана с выполнением множества операций на этапах движения, например товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация. Кроме таких основных операций процесс движения товаров сопровождается большим количеством предварительных, подготовительных, сопутствующих, параллельных и последующих операций с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.

Задачи организации массового  обслуживания возникают практически  во всех сферах человеческой деятельности, например обслуживание продавцами покупателей  в магазинах, обслуживание посетителей  на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечение  телефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает  необходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей.

Перечисленные задачи можно успешно  решать с помощью методов и  моделей специально созданной для  этих целей теории массового обслуживания (ТМО). В этой теории поясняется, что  обслуживать необходимо кого-либо или  что-либо, что определяется понятием «заявка (требование) на обслуживание», а операции обслуживания выполняются  кем-либо или чем-либо, называемыми  каналами (узлами) обслуживания. Роль заявок в коммерческой деятельности выполняют товары, посетители, деньги, ревизоры, документы, а роль каналов обслуживания — продавцы, администраторы, повара, кондитеры, официанты, кассиры, товароведы, грузчики, торговое оборудование и др. Важно заметить, что в одном варианте, например, повар в процессе приготовления блюд является каналом обслуживания, а в другом - выступает в роли заявки на обслуживание, например к заведующему производством за получением товара.

Заявки в силу массовости поступления  на обслуживание образуют потоки, которые  до выполнения операций обслуживания называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя  в очереди, образуют потоки обслуживания в каналах, а затем формируется  выходящий поток заявок. В целом  совокупность элементов входящего  потока заявок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока заявок образует простейшую одноканальную систему  массового обслуживания — СМО.

 Под системой понимается совокупность взаимосвязанных и. целенаправленно взаимодействующих частей (элементов). Примерами таких простейших СМО в коммерческой деятельности являются места приема и обработки товаров, узлы расчета с покупателями в магазинах, кафе, столовых, рабочие места экономист та, бухгалтера, коммерсанта, повара на раздаче и т.д.

Процедура обслуживания считается  завершенной, когда заявка на обслуживание покидает систему. Продолжительность  интервала времени, требуемого для  реализации процедуры обслуживания, зависит в основном от характера  запроса заявки на обслуживание, состояния  самой обслуживающей системы  и канала обслуживания.

Под обслуживанием заявок будем  понимать процесс удовлетворения потребности. Обслуживание имеет различный характер по своей природе. Однако, во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства. В некоторых случаях обслуживание производится одним человеком (обслуживание покупателя одним продавцом, в некоторых — группой людей (обслуживание больного врачебной комиссией в поликлинике), а в некоторых случаях - техническими устройствами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами). Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок, называется каналом обслуживания.

В систему массового обслуживания поступает большое количество заявок в случайные моменты времени, длительность обслуживания которых  также является случайной величиной. Последовательное поступление заявок в систему обслуживания называется входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания,— выходящим потоком.

Случайный характер распределения длительности выполнения операций обслуживания наряду со случайным характером поступления требований на обслуживание приводит к тому, что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который "может быть назван (по аналогии с входным потоком заявок) потоком обслуживания заявок или просто потоком обслуживания.

Работу системы обслуживания характеризуют  такие показатели. Как время ожидания начала обслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в  обслуживании, возможность простоя  каналов обслуживания, стоимость  обслуживания и в конечном итоге  удовлетворение качеством обслуживания, которое еще включает показатели коммерческой деятельности. Чтобы улучшить качество функционирования системы  обслуживания, необходимо определить, каким образом распределить поступающие  заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как расположить  или сгруппировать каналы обслуживания или обслуживающие аппараты для  улучшения показателей коммерческой деятельности. Для решения перечисленных  задач существует эффективный метод  моделирования, включающий и объединяющий достижения разных наук, в том числе  математики.

Показатели эффективности  систем массового обслуживания

 Обычно практический интерес   в теории массового обслуживания  вызывают  предельные средние  характеристики системы, которые  называются показателями эффективности  СМО. В качестве показателей  эффективности для стационарного  режима могут рассматриваться  следующие: 

А − среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени. Эту характеристику называют абсолютной пропускной способностью СМО;

Q − вероятность обслуживания  поступившей заявки, или относительная  пропускная способность СМО. 

 

P_отк.− вероятность отказа, т.е. вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена, P_отк.= 1 − Q ;

  − среднее число  заявок в СМО (имеются в виду все заявки, как обслуживаемые, так и ожидающие очереди, если она есть);

 − среднее число  заявок в очереди, если она есть;

. − среднее время  пребывания заявки в СМО, как в очереди, если она есть, так и в момент обслуживания;

  − среднее время  пребывания заявки в очереди; 

  − среднее число занятых каналов.

Выбор показателей эффективности СМО зависит от типа СМО.  Например, абсолютная пропускная способность А, являясь основной характеристикой обслуживания в СМО с отказами, совпадает с интенсивностью потока для СМО с неограниченной очередью.

 

 

 

Постановка задачи

На сортировочной станции работают две сортировочные горки. На расформирование  прибывает простейший поток составов с интенсивностью λ составов в  сутки. Горочный технологический интервал составляет tмин(-tобсл). Очередь не ограничена.

 

n = 2

Решение

1. Описать состояния  системы, построить граф состояний.

Запишем  состояния  системы,  они  пронумерованы  по числу заявок в системе, т.е. по числу занятых  каналов, плюс число заявок в очереди.

S₀ − все каналы свободны,

S₁ − один канал занят,

S₂ − два канала заняты,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S₃ − 2 каналов заняты,

S₄ −  1 каналов заняты, одна заявка в очереди,

S₅ −  2 каналов заняты, две заявки в очереди

В этой СМО ни одна заявка не получит  отказа:  P_отк = 0 .

Граф  будет таким 

Проверка  условий работы СМО.

 

 

 

СМО работает если

Если  то предельные вероятности не выполняются и очередь растет не ограниченно. В нашем случае СМО будет работать.

2. Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показать эффективности работы сортировочной станции. Определить процент составов, идущих сразу в обработку.

 

 

 

i=1..n

j=1..3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показатели эффективности

 

Все составы будут обслужены.

 

Относительная и абсолютная пропускные способности

 

 

 

Среднее число занятых каналов

 

Среднее число заявок в очереди

 

 

 

 

 

 

Среднее число составов в системе и среднее время в системе

 

 

Оценим процент составов, идущих сразу в обработку.

 

57% составов сразу попадают в обработку.

 

 

3. Найти функциональную зависимость длины очереди от интенсивности потока =φ(λ) ) и от времени обслуживания =φ().

Зависимость =φ(λ).

Найдем из условия

=1

 

λ	6	7	8	9
	0,675	1,345	2,844	7,674

 

 

 

Зависимость =φ().

Найдем из условия

 

 

 

	0,15	0,2	0,25	0,3
	0,207	0,6	1,651	5,686

 

4. В результате неполадок  в одном горочном механизме время  обслуживания увеличилось в 1,5 раза. Как распределить поток составов между горками?

Рассмотрим сортировочную  станцию как две одноканальные  СМО с неограниченной очередь, горочный технологический интервал составляет 12 минут для одной горки и 18 минут для второй горки. Распределим поток составов так, что бы среднее число заявок в очереди   для обеих горок совпало.

1 горка

 

 

 

 

 

2 горка

 

 

 

 

 

5. На соседней станции  проведена реконструкция, и она  может обработать дополнительно  ¼ часть составов нашей сортировочной  станции. Можно ли в этом случае начать профилактический ремонт одного горочного  механизма?

При условии, что 25% составов будут обслуживаться на другой станции можно начать ремонт одного горочного механизма.

Работа одноканальной  СМО с неограниченной очередью возможна при .

 

 

 

 

При поставленном условии наша станция будет работать, можно начать профилактический ремонт одного горочного механизма.

 

Список  использованных источников

 

1.  Вентцель, Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. - М.: «Советское радио», 1972. - 552 с.
2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М.: «Высшая школа», 2003. - 479 с.
3. Лаврусь, О.Е. Теория массового обслуживания. Методические указания/ О.Е. Лаврусь, Ф.С. Миронов. - Самара: СамГАПС, 2002.- 38 с.
4. Саакян, Г.Р. Теория массового обслуживания: лекции / Г.Р. Саакян. - Шахты: ЮРГУЭС, 2006. - 27 с.