Проекция точки

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Инженерная  графика 

Тема: «Проекция  точки» 
 
 
 

                                          
 
 
 
 
 
 

                                          
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Г. Абакан 2010 г. 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Геометрический  объект любой сложности можно  рассматривать как геометрическое место точек, по взаимному расположению, которых можно составить представление об объекте, а по расположению их относительно системы координат можно судить о положении его в пространстве.

     Точка - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии точка обычно принимается за одно из исходных понятий.

     В современной математике точкой называют элементы весьма различной природы, из которых состоят различные пространства (например, в n-мерном евклидовом пространстве точкой называют упорядоченную совокупность из n- чисел).

     Проекция  трехмерного объекта (представленного  в виде совокупности точек) строится при помощи прямых проекционных лучей, которые называются проекторами и которые проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию.

     Проекции  делятся на два основных класса

-        параллельные (аксонометрические);

-        центральные (перспективные).

Параллельные проекции делятся на два типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования и нормалью к проекционной плоскости

1)       ортографические – направления совпадают, т. е. направление проецирования является нормалью к проекционной плоскости;  

2)       косоугольные – направление проецирования и нормаль к проекционной плоскости не совпадают.

       Изометрическая проекция – нормаль к проекционной плоскости, (а следовательно и направление проецирования) составляет равные углы с каждой из главных координатных  осей. Если нормаль к проекционной плоскости имеет координаты (a,b,c), то потребуем, чтобы |a| = |b| = |c|, или ±a=±b=±c, т. е. имеется 8 направлений (по одному в каждом из октантов), которые удовлетворяют этому условию. Однако существует лишь 4 различных изометрических проекции (если не рассматривать удаление скрытых линий), так как векторы (a, a, a) и (-a,-a,-a) определяют нормали к одной и той же проекционной плоскости.

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 2.3. Третья плоскость, перпендикулярная и П₁,  и П₂,  обозначается буквой П₃ и называется профильной.

Проекции  точек на эту плоскость обозначаются заглавными буквами или цифрами  с индексом 3. Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0. Три плоскости  проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как  и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте. Для получения  эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости  П1 и П3 вращают, как показано на рисунке до совмещения с плоскостью П2. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают.  Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают. Координатами  называют числа, которые ставят в  соответствие точке для определения  ее положения в пространстве или  на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , y  и z  (абсцисса, ордината и аппликата).

Изометрическая  проекция обладает следующим свойством: все 3 главные координатные оси одинаково  укорачиваются. Поэтому можно проводить измерения вдоль направления осей с одним и тем же масштабом. Кроме того, главные координатные оси проецируются так, что их проекции составляют равные углы друг с другом (120°).

Косоугольные (наклонные) проекции сочетают в себе свойства ортографических проекций (видов спереди, сверху и сбоку) со свойствами аксонометрии. В этом случае проекционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси, поэтому сторона объекта, параллельная этой плоскости, проецируется так, что можно измерить углы и расстояния. Проецирование других сторон объекта также допускает проведение линейных измерений (но не угловых) вдоль главных осей. Отметим, что нормаль к проекционной плоскости и направление проецирования не совпадают.

Двумя важными видами косоугольных проекций являются проекции:

  -     Кавалье (cavalier) – горизонтальная косоугольная изометрия (военная перспектива);

  -     Кабине (cabinet) – фронтальная косоугольная диметрия.  

Можно выделить три основных варианта взаимного  расположения точек:

1.Пусть точки  А и В (рис.2.5) расположены в первой четверти так, что:

- Y_А>Y_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₂ и ближе к наблюдателю, чем точка В

- Z_А>Z_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₁ и ближе к наблюдателю, чем точка В;

- X_А<X_В. Тогда точка В расположена дальше от плоскости П₃ и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева) точка А;

 

 

А) Модель                                                                    б) Эпюр  

2.– Y_А=Y_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₂ и их горизонтальные проекции расположатся на прямой А₁В₁// x₁₂. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₂.

– Z_А=Z_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₁ и их фронтальные проекции расположатся на прямой А₂В₂// x₁₂. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₁.

– X_А=X_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₃ и их горизонтальные  и фронтальные проекции расположатся, соответственно, на прямых А₁В₁// y и А₂В₂//z . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₃.

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 2.6 даны три пары таких точек, у которых:

а) модель	б) эпюр

 

Соответствующие проекции конкурирующих точек совпадают.

Различают: горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD ; фронтально конкурирующие точки A и C расположенные на фронтально проецирующей прямой AC; профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

    При  проецировании на соответствующую  плоскость проекций одна точка  «закроет» другую точку, конкурирующую  с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.

    Проецирование точки на три плоскости проекций координатного угла начинают с получения  ее изображения на плоскости Н – горизонтальной плоскости проекций. Для этого через точку А (рис. 185, а) проводят проецирующий луч перпендикулярно плоскости Н.

    На  рисунке перпендикуляр к плоскости  Н параллелен оси Оz. Точку пересечения луча с плоскостью Н (точку а) выбирают произвольно. Отрезок Аа определяет, на каком расстоянии находится точка А от плоскости Н, указывая тем самым однозначно положение точки А на рисунке по отношению к плоскостям проекций. Точка а является прямоугольной проекцией точки А на плоскость Н и называется горизонтальной проекцией точки А (рис. 185, а).

    Для получения изображения точки  А на плоскости V (рис. 185, б) через точку А проводят проецирующий луч перпендикулярно фронтальной плоскости проекций V. На рисунке перпендикуляр к плоскости V параллелен оси Оy. На плоскости Н расстояние от точки А до плоскости V изобразится отрезком аа_x, параллельным оси Оy  и перпендикулярным оси Оx. Если представить себе, что проецирующий луч и его изображение проводят одновременно в направлении плоскости V, то когда изображение луча пересечет ось Ox в точке а_x, луч пересечет плоскость V в точке а^/. Проведя из точки а_x в плоскости V перпендикуляр к оси Ox, который является изображением проецирующего луча Аа на плоскости V, в пересечении с проецирующим лучом получают точку а^/. Точка а^/ является фронтальной проекцией точки А, т.е. ее изображением на плоскости V.

    Изображение точки А на профильной плоскости проекций (рис. 185, в) строят с помощью проецирующего луча, перпендикулярного плоскости W. На рисунке перпендикуляр к плоскости W параллелен оси Ox. Проецирующий луч от точки А до плоскости W на плоскости Н изобразится отрезком аа_y, параллельным оси Ох и перпендикулярным оси Оу. Из точки а_y параллельно оси Оz и перпендикулярно оси Оy строят изображение проецирующего луча аА и в пересечении с проецирующим лучом получают точку а^//. Точка а^// является профильной проекцией точки А, т.е. изображением точки А на плоскость W.

    Точку  а^// можно построить , проведя от точки а^/ отрезок а^/а_x параллельно оси Ох, а от точки а_x – отрезок а^//а_x параллельно оси Оу до пересечения с проецирующим лучом.

    

    V

    

      А  

    

      

          а 

       у

    Получив три проекции точки А на плоскостях проекций, координатный угол развертывают в одну плоскость, как показано  на рис. 184, б, вместе с проекциями точки А и проецирующих лучей, а точку А и проецирующие лучи Аа, Аа^/ и Аа^// убирают. Края совмещенных плоскостей проекций не проводят, а проводят только оси проекций Оz, Оy и Ох, Оy_/ (рис. 185).

    Анализ  ортогонального чертежа точки показывает, что три расстояния - Аа^/, Аа и Аа^// (рис. 185, в), характеризующие положение точки А в пространстве, можно определить, отбросив сам объект проецирования – точку А, на развернутом в одну плоскость координатном угле (рис. 186). Отрезки а^/а_x, аа_y и Оа_x равны Аа^// как противоположные стороны соответствующих прямоугольников (рис. 185, в и 186). Они определяют расстояние, на котором находится точка А от профильной плоскости проекций. Отрезки а^/а_x, а^//а_y и Оа_x равны отрезку Аа, определяют расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций, отрезки аа_x, а^//а_x и Оа_y равны отрезку Аа^/, определяющему расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций.