Расчет линейной электрической цепи постоянного тока

Расчет линейной электрической  цепи постоянного тока

 

Задание:

1. Определить  все токи методом контурных  токов.

2. Определить  все токи методом узловых потенциалов,  приняв потенциал 4-го узла  равным нулю.

3. Произвести  проверку по законам Кирхгофа.

4. Составить  баланс мощностей.

5. Определить  ток I1 методом эквивалентного генератора.

 

 

Исходные данные:

 

Е₁=300 В, Е₂=-100 В, J_К1=-5 А

R₁=20 Ом, R₂=70 Ом, R₃=60 Ом

R₄=90 Ом, R₅=40 Ом, R₆=40 Ом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Определим все токи методом контурных токов

 

1.1 Определим  число уравнений по второму  закону Кирхгофа:

 

N_МКТ=N_IIЗК=N_В–N_У+1-N_J=7-4+1-1=3

 

где N_В– число ветвей,

N_У– число узлов,

N_J– число ветвей содержащие источники тока.

 

1.2 Составим уравнения по методу контурных токов:

 

 

1.3 Определим собственные и взаимные сопротивления:

 

R₁₁=R₃+R₄+R₅=60+90+40=190 Ом;

R₂₂=R₁+R₂+R₃=20+70+60=150 Ом;

R₃₃=R₂+R₅+R₆=70+40+40=150 Ом;

R₁₂=R₂₁=R₃=60 Ом;

R₁₃=R₃₁=R₅=40 Ом;

R₂₃=R₃₂=R₂=70 Ом;

 

1.4 Определим контурные ЭДС:

 

E₁₁=0 В;

E₂₂=E₁ – E₂ =300+100=400 В;

E₃₃= E₂=-100 В.

 

1.5 Составим матрицу сопротивлений, матрицу-столбец контурных ЭДС и найдем контурные токи:

 

,  

     ,      

 

1.6 Находим реальные токи:

I₁=I₂₂ – I₄₄=0,534+5=5,534 A

I₂= –I₂₂+I₃₃= –0,534-1,064= -1,598 A

I₃=I₁₁–I₂₂=-2,424–0,534=2,958 A

I₄=I₁₁ – I₄₄=-2,424+5=2,576 A

I₅= –I₁₁+I₃₃= 2,424-1,064=1,36 A

I₆=I₃₃=-1,064 A

 

2 Определить все токи методом узловых напряжений приняв узел 4 заземлением.

 

N_МУН=N_IЗК=N_У-1=4-1=3

 

 

2.1 Составим уравнения для определения потенциалов узлов:

 

 

2.2 Определим взаимную и собственную проводимости:

 

См;

См;

См;

См;

См;

См.

 

2.3 Определяем узловые токи:

 

А;

А;

А.

 

2.4Составим матрицу проводимостей и матрицу-столбец узловых токов, и найдем потенциалы узлов:

 

,        ,      

 

2.5 Пользуясь обобщенным законом Ома определяем токи во всех ветвях:

 

А;

А;

А;

А;

А;

А.

 

Токи	I1,А	I2,А	I3,А	I4,А	I5,А	I6,А
МКТ	5,534	-1,598	-2,958	2,576	1,36	-1,064
МПУ	5,534	-1,598	-2,958	2,576	1,36	-1,064

3 Применение законов  Кирхгофа для проверки правильности  решения:

 

 

3.1 Составим систему уравнений  по 1-ому закону Кирхгофа:

 

Σ±I=0

I₁+I₃–I₄=0

I₄+I₅–I₆+J_к1=0

I₂–I₃–I₅=0

 

R₄I₄–R₅I₅+R₃I₃=0

–R₃I₃–R₂I₂+R₁I₁= E₁-E₂

R₆I₆+R₂I₂+R₅I₅=E₂

 

3.2 Подставим числовые значения:

 

5,534-2,958-2,576=0                                            

0=0

 

2,576+1,36+1,064-5=0

0=0

 

-1,598+2,958-1,36=0

0=0

 

90·2,576–40·1,36+60·(-2,958)= 0           

-0,04≈0

 

–60·(-2,958)–70·(-1,598)+20·5,534=400               

400,02≈400

 

40·(-1,064)+70·(-1,598)+40·1,36=-100

-100,02≈-100

 

Проверка подтверждает правильность решения.

 

 

4 Баланс мощностей

 

4.1 Найдем мощность источников:

 

ΣР _ИСТ =E₁I₁+E₂I₂+J_К1·

ΣР_ИСТ =300·5,534+(-100)·(-1,598)+(-5)·(-42,549)= 2033 Вт.

 

4.2 Найдем мощность нагрузок:

 

Σ±Р_НАГР=R₁·I₁²+R₂·I₂²+R₃·I₃²+R₄·I₄²+R₅·I₅²+R₆·I₆²

Σ±Р_НАГР=20·(5,534)²+70·(-1,598)²+60·(-2,958)²+90·2,576²+40·1,36²+

+40·(-1,064)²=2033 Вт.

 

4.3 Баланс мощностей выполняется,  т.к.: Р_ИСТ≈Р_НАГР.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 Определение тока I₁ методом эквивалентного генератора

 

Последовательность преобразования сопротивлений

 

 

 

Ом;

Ом;

Ом;

Ом;

Ом.

 

5.1 Определим эквивалентное сопротивление цепи:

 

Ом.

 

5.2 По методу узловых потенциалов составляем уравнения:

 

 

5.3 Определим взаимную и собственную проводимости:

 

См;

См;

См;

См;

См;

См.

5.4 Определяем узловые токи:

А;

А;

А.

 

5.5 Составим матрицу проводимостей и матрицу-столбец узловых токов, и найдем потенциалы узлов:

 

,        ,      

 

5.6 Напряжение холостого хода

 

U_xx = φ₄ − φ₁₁ +Е₁ = 0 + 158,364+300 = 458,364 В.

 

5.7 Определим ток I₁:

 

I₁ = U_xx / (R_экв + R₁) = 458,364 / (62,825 + 20) = 5,534 А.

 

 

Потенциальная диаграмма

 

Для построения потенциальной диаграммы  найдем потенциалы всех указанных узлов

        φ₁ = 189,318 В;

φ₂ = -42,549 В;

φ₃ = 11,849 В;

φ₄ = 0 В;

φ₅ =  φ₁ – E₁ = 189,318 - 300 = 110,682 В;

φ₆ =  φ₃ – E₂ = 11,849 + 100 = 111,849 В.

 

Построим  диаграмму для контура 4–5–1–2–3–6–4