Расчет электрических цепей постоянного и переменного токов

     S-полная мощность цепи, [В^.А]. 

     1.4 Трехфазные цепи переменного тока 

     Трехфазной системой ЭДС называется система трех переменных ЭДС одинаковой частоты, сдвинутых относительно друг друга по фазе так, что сумма трехфазных углов равна 2П.

     Простейший генератор трехфазного тока по конструкции аналогичен генератору однофазного тока, только его якорь имеет ни одну, а три обмотки, сдвинутых в пространстве друг относительно друга на 120º.

     Отдельные обмотки трехфазного генератора называются фазами. Условно выбирают положительное направление ЭДС в обмотках, от концов фаз к началу.

     У реальных трехфазных генераторов обмотки имеют одну общую, в которой соединены концы обмоток. Такую схему соединения называют звездой, а общую обмотку - нейтралью генератора.

     Напряжение между линейными проводами принято называть линейным. Напряжение между линейными и нейтральными проводами называют фазными напряжениями. Фазное напряжение отличается от фазной ЭДС по величине падения напряжения в обмотке генератора.

     Между действующими значениями фазных UФ и линейных UЛ напряжений существует соотношение: 

     UЛ=2UФ · сos30º=2UФ · = · UФ, где 

     UЛ-линейное напряжение;

     UФ-фазное напряжение.

     Векторная диаграмма симметрична линейных напряжений сдвинута на 30º в сторону вращения векторов относительно диаграммы фазных напряжений.

     В схеме соединения обмоток трехфазного генератора, которую называют треугольником, три обмотки генератора образуют замкнутый контур с весьма малым сопротивлением. При соединении обмоток треугольником линейное напряжение в то же время является и фазным напряжением генератора, т.е. 

     UЛ=UФ 

     Звезда векторов линейных токов сдвинута относительно звезды фазных токов на 30º против вращения векторов: 

     IЛ=2 · iФcos30º=2iФ = iФ, где

     IЛ-линейный ток;

     IФ-фазный ток.

     При симметричной нагрузке точке во всех фазах одинаковы. 

Расчет нелинейной цепи постоянного тока

     Расчет цепи, содержащей нелинейные элементы, осуществляется графическим методом, которые применяются при любом виде ВАХ. Сначала в общей системе координат строим ВАХ линейного и нелинейного элементов. ВАХ линейного элемента строим по уравнению

     I=Ur/R

     Она представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

     Далее строим общую ВАХ с учетом схемы соединения элементов. В нашей цепи соединены смешанно, поэтому сначала строим общую ВАХ линейного и нелинейного элементов, которые соединены параллельно. По оси абсцисс произвольно выбираем точки на каждом нелинейном графике с одним U и строим общую ВАХ для них.

     Получим график:

     I₁=f (U₂)

     Далее строим общую ВАХ нелинейных элементов I₁=(U₁) и I₁=(U₂). Так как эти элементы соединены последовательно, значит, чтобы построить общую ВАХ, по оси ординат выбираем точку и откладываем их, тем самым строя общую ВАХ для всей схемы.

     Дальнейший расчет цепи производим по полученным графикам.

     Чтобы найти I и U на всех элементов цепи, поступаем так: по оси напряжений находим нужное U. Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с общей ВАХ. Получим точку, из которой опускаем перпендикуляр на ось I. Так, опуская перпендикуляры из всех полученных точек на ось токов, получим токи на каждом участке цепи:

     I₁= 5,3 (A); I₂=2,15 (A); I₃=3,15 (A)

Опустив перпендикуляры на ось U, получил следующие напряжения:

     U₁=220 (B); U₂=110 (B); U₃=110 (B)  

3.Расчет однофазной цепи переменного тока символическим методом 

     Методы расчета электрических цепей переменного тока при помощи векторных диаграмм основаны на изображении синусоидальных величин векторами.

     Из курса математики известно, что каждому вектору А в комплексной плоскости соответствует комплексное число А, которое можно выразить в форме:

     алгебраической А=a+jb;

     тригонометрической А=Аcosa+Asina;

     показательной А=Аe^ja .

     Это дает основание от графического (векторного) выражения синусоидальных напряжений и токов перейти к аналитическому выражению их комплексными числами, а операции с векторами заменить алгебраическими действиями.

     Представление векторов напряжений и токов комплексами, выражение сопротивлений и проводимостей комплексными числами, а также замена операций с векторами алгебраическими действиями с комплексными числами позволяют значительно упростить расчет сложных цепей переменного тока. Кроме того, применение комплексных чисел обеспечивает единство методов расчета электрических цепей постоянного и переменного токов. Это значит, что все методы расчета и вытекающие из них соотношения для цепей постоянного тока можно применить и для цепей переменного тока, если величины выражены в комплексной форме. В этом практический смысл применения комплексных чисел для решения задач электротехники.

     При использовании символического метода законы Кирхгофа и все вытекающие из него выводы остаются неизменными, меняется только формулировка.

     Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма комплексов токов в электрическом узле равна нулю.

     Второй закон Кирхгофа: В контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексов ЭДС источников равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения.

     При расчёте электрических цепей переменного тока используют или определяют следующие величины: ЭДС, напряжения, токи, сопротивления и проводимости, мощность. Все эти величины должны быть выражены в символической форме, то есть комплексными числами.

     Действительная и мнимая части комплексов тока и напряжения соответственно равны проекциям вектора тока или напряжения на оси комплексной плоскости (ось действительных и ось мнимых величин).

     Активное сопротивление в комплексной форме выражается действительным положительным числом, реактивные сопротивления выражаются мнимыми числами, причем индуктивное (X_L) положительно, а емкостное (X_C) отрицательно. Полное же сопротивление участка цепи при последовательном соединении R и X выражается комплексным числом, действительная часть которого равна активному сопротивлению, а мнимая часть равна реактивному сопротивлению этого участка (при выражении полной проводимости в комплексной форме поступают также, только индуктивная проводимость отрицательна, а емкостная - положительна).

     К зажимам электрической цепи, схема замещения которой приведена на рисунке а, подключен источник синусоидального напряжения 

     u=311sin(wt+30) B частотой f=50 Гц. 

     Параметры элементов схемы замещения: R1=20 Ом, R2=30 Ом, 

     X_L1=2pfL₁=2*3,14*50*63,6*10^-3=10,97 (Ом)

     X_L2=2pfL₂=2*3,14*50*127,2*10^-3=39,941 (Ом)

     X_C1=1/(2pfC₁)=1/(2*3,14*50*79,5*10^-6)=40,059 (Ом)

     X_C2=1/(2pfC₂)= 1/(2*3,14*50*53*10^-6)=60,089 (Ом)

     Z₁=jX_L1=j19,97=19,97e^j90 (Ом)

     Z₂=R₁ - jXC₁=20 - j40,059 (Ом)

     Z₃=R₂=30 (Ом)

     Z₄=jX_L2=j39,941=39,941e^j90 (Ом)

     Z₅= - jX_C2= - j60,089=60,089e^j-90(Ом)

     Z₃₄=(Z₃*Z₄)/(Z₃+Z₄)=(30*39,941e^j90)/(30+39,041e^j90)=1198,23e^j90/49,953e^j53=23,987e^j37=19,156+j14,435 (Ом)

     Z₂₃₄₅=Z₂+Z₃₄+Z₅=20 - j40,059=19,156+j14,435-j60,089=39,156 - j85,713=94,233e^-j65,5 (Ом)

     Z_экв=(Z₁*Z₂₃₄₅)/(Z₁+Z₂₃₄₅)=(19,97e^j90*94,233e^j-65,5)/(j19,97+39,156 - j85,713)=1881,833ej^24,5/(39,156 - j65,743)=1881,833e^j24,5 / 76,58e^-j59,2=24,593e^j83,7 (Ом)

     U=U_m/1,41e^j30=311/1,41e^j30=220,567e^j30 (В)

     I=U/Z_экв=220,567e^j30/24,593e^j83,7=8,969e^-j53,7 (A)

     I₁=U/Z₁=220,567e^j30/19,97e^j90=11,045e^-j60 (A)

     I₂=U/Z₂₃₄₅=220,567e^j30/94,233e^-j65,5=2,341e^j95,5 (A)

     U_dc=U_Z3=U_Z4=I₂*Z₃₄=2,341e^j95,5*23,987e^j37=56,154e^j132,5 (Ом)

     I₃=U_Z3/Z3=56,154e^j132,5/30=1,872e^j132,5 (A)

     I₄=U_Z4/Z4=56,154e^j132,5/39,941e^j90=1,406e^j42,5 (A)

     S=U*I=220,567e^j30*8,969e^j53,7=1978,265e^j83,7=210+j1966,988 (В^.А)

     P_и=210 (Вт)

     Q_и=1966,988 (Вар)

     P_пр=I₂²R₁+I₃²R₂=2,341²*20+1,872²*30=109,606+105,132=214,738 (Вт)

     Q_пр=I₁²X_L1+I₄²X_L2+I₂²(-X_C1 - X_C2)=11,045²*19,97 - ,

     341²(40,059+60,089)+ +1,406²*39,941=2435,181 - 548,839+78,957=1966,299 (Вт)

     P_и»P_пр Q_и»Q_пр

     210»214,738 1966,988»1966299

     U_аb=I₁*X_L1=11,045*19,97=220,569 (В)

     U_ас=I₂*X_C2=2,341*60,089=140,668 (B)

     U_cd=I₃*R₂=1,872*30=56,16 (B)

     U_cd=I₄*X_L2=1,406*39,941=56,16 (B)

     U_de=I₂*X_C1=2,341*40,059=93,778 (B)

     U_eb=I₂*R₁=2,341*20=46,82 (B)

     M_I=1A/см M_U=15B/см

     l_Uab=U_ab/M_U=220,569/15»14,7 (см)

     l_Uac=U_ac/M_U=140,668/15»9,4 (см)

     l_Ucd=U_cd/M_U=56,16/15»3,7 (см)

     l_Ude=U_de/M_U=93,778/15»6,3 (см)

     l_Ueb=U_eb/M_U=46,82/15»3,1 (см)