Классические методы спектрального анализа

 

Классические  методы спектрального анализа.

 

Оценки  СПМ, основанные на прямом преобразовании данных и последующем усреднении, получили название периодограмм. Оценки СПМ, для получения которых по исходным данным сначала формируется  корреляционные оценки, получили название коррелограммных методов спектрального оценивания.

 

При использовании любого метода оценивания СПМ пользователю приходится принимать  множество компромиссных решений, с тем, чтобы по конечному количеству отсчетов данных получать статистически  устойчивые спектральные оценки с максимально  возможным разрешением. К этим компромиссным решениям относятся, в частности, выбор таких функций окна для взвешивания данных и корреляционных функций и таких параметров усреднения во временной и в частотной областях, которые позволяют сбалансировать требования к снижению уровня боковых лепестков, выполнению эффективного усреднения по ансамблю и к обеспечению приемлемого спектрального разрешения. Устойчивые результаты (малые спектральные флюктуации) и хорошая точность (малое смещение относительно истинных спектральных значений на всех частотах) достижимы только тогда, когда произведение TB,  где Т - полный интервал записи данных, а B - эффективное разрешение по частоте, значительно превышает единицу. Все эти компромиссы можно количественно охарактеризовать в случае гауссовских процессов, для которых подробно теоретически изучены статистические характеристики классических спектральных оценок. Однако выбор конкретного метода спектрального оценивания в случае негауссовских процессов зачастую обосновывается только экспериментальными данными. Да и выбор функции окна очень часто основывается на данных экспериментальных, а не теоретических исследований.

 

Окна данных и корреляционные окна в спектральном анализе.

 

Окна  представляют собой весовые функции, используемые для уменьшения размывания спектральных компонент, обусловленного конечностью интервалов наблюдения. Так, можно считать, что воздействие  окна на массив данных (как мультипликативной  весовой функции) состоит в уменьшении порядка разрыва на границе периодического продолжения. Этого добиваются, согласуя на границе возможно большее число  производных взвешенных данных. Проще  всего обеспечить такое согласование, сделав эти производные равными  или, по крайней мере, близкими к  нулю. Таким образом, вблизи границ интервала взвешенные данные плавно стремятся к нулю, так, что периодическое  продолжение сигнала оказывается  непрерывным вплоть до производных  высших порядков.

С другой стороны, можно считать, что  окно мультипликативно воздействует на базисное множество так, чтобы сигнал произвольной частоты имел значительные проекции только на те базисные векторы, частоты которых близки к частоте сигнала. Оба подхода ведут, конечно, к одинаковым результатам.

 

Периодограммные оценки Спектральной Плотности Мощности.

 

Пренебрегая операцией  вычисления математического  ожидания и полагая, что конечное множество данных содержит N отсчетов, получаем выборочный спектр

который может быть вычислен по конечной последовательности данных. Однако поскольку была опущена операция математического ожидания, эта оценка будет неустойчивой или несостоятельной. И для сглаживания применяется что-то вроде псевдоусреднения  по ансамблю. Существует три различных типа сглаживания быстрых флюктуаций спектра.

Первый  метод заключается в усреднении по соседним спектральным частотам. Если для вычисленный выборочный спектр на сетке частот то модифицированная оценка периодограммы на частоте ожет быть получена посредством усреднения в P точках с каждой стороны от этой частоты

 

Обобщением  этого подхода является обработка  выборочного спектра с помощью  фильтра нижних частот с частотной  характеристикой . В этом случае модифицированную периодограмму можно записать в виде свертки частотной характеристики фильтра нижних частот и самого выборочного спектра

 Вторым методом сглаживания выборочного спектра является усреднение по псевдоансамблю периодограмм за счет деления последовательности из N отсчетов данных на P неперекрывающихся сегментов по D отсчетов в каждом, так что DP<N (называемым периодограмма Бартлетта). Тогда p-ый сегмент будет состоять из отсчетов где n=0,1,..,D-1,p=0,1,..P-1. Для каждого сегмента независимо вычисляется выборочный спектр в диапазоне частот

Далее на каждой частоте, представляющей интерес, P отдельных немодифицированных  периодограмм усредняются, с тем чтобы получить окончательную оценку:

Математическое  ожидание и дисперсия даются следующими выражениями:

Из выражения для дисперсии видно, что устойчивость спектральной оценки Бартлетта улучшается как величина, обратная числу сегментов P.

Третьим и одним из самых эффективных методов является метод периодограмм Уэлча. Основное отличие от периодограммы Бартлетта состоит в том, что здесь используется окно данных и осуществлено перекрывающееся сегментирование последовательности отсчетов. Применение окна данных дает незначительное ухудшение разрешения по частоте, так как сам спектр окна вносит погрешности в результирующий спектр, однако удается достичь уменьшения влияния боковых лепестков спектра прямоугольного окна, которое косвенно применяется при сегментировании последовательности данных. Целью перекрытия сегментов является увеличение числа усредняемых сегментов и тем самым уменьшение дисперсии оценки спектральной плотности мощности. Сам метод состоит в следующем. Пусть дана запись комплексных данных , которая разбивается на число сегментовD со сдвигомS отсчетов между соседними сегментами, тогда взвешенный p-ый сегмент будет состоять из отсчетов, где n = 0,1..D-1, p = 0,1..P-1, P=[(N-D)/S+1]. А выборочный спектр взвешенного p-ого сегмента в диапазоне частот

, где 

И окончательный вид периодограммы  Бартлетта приобретает вид :

Среднее и дисперсия оценки выглядят следующим образом:

При использовании перекрытия соседних сегментов можно сформировать большее число псевдореализаций, чем в методе Бартлетта, а это уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэлча, хотя порядок имеет тот же самый.

Коррелограммные оценки Спектральной Плотности Мощности.

Альтернативным  методом является коррелограммный метод. Косвенный метод основан на использовании бесконечной последовательности значений данных для расчета автокорреляционной последовательности,  преобразование Фурье которой дает искомую СПМ. В отличии от прямого метода, который основан на вычислении квадрата модуля преобразования Фурье для бесконечной последовательности данных с использованием соответствующего статистического усреднения. Показано, что результирующая функция, получаемая без использования такого усреднения и называемая выборочным спектром, оказывается неудовлетворительной из-за статистической несостоятельности получаемых  с ее помощью оценок, поскольку среднеквадратичная ошибка таких оценок сравнима по величине со средним значением оценки.

Автокорреляционная  последовательность на практике может  быть оценена по конечной записи данных следующим образом (несмещенная  оценка):

, где 

или смещенной оценкой автокорреляции, которая имеет меньшую, по сравнению  с несмещенной оценкой, дисперсию:

, где

, где   - ядро Дирихле

Эффект  неявно присутствующего окна из-за конечности данных приводит к свертке  истинной спектральной плотности с  преобразованием Фурье дискретно-временного прямоугольного или треугольного (как  в случае со смещенными оценками) окна. Для уменьшения этого эффекта  используется корреляционное окно и коррелограммная оценка спектральной плотности мощности в общем виде выглядит следующим образом:

Область применения.

 

Классические  методы спектрального анализа применимы  почти ко всем классам сигналов и  шумов в предположении о стационарности. Вычислительная эффективность периодограммных и коррелограммных методов основана на использовании алгоритма Быстрого Преобразования Фурье. Недостатком всех методов спектрального анализа является искажения в спектральных составляющих по боковым лепесткам из-за взвешивания данных при помощи окна. Сравнение экспериментальных результатов с другими методами и характеристики взвешивающих окон приведены в соответствующем разделе.

 

II)

 

Периодограмма

 

Функции синусов и косинусов независимы (или ортогональны); поэтому можно  просуммировать квадраты коэффициентов  для каждой частоты, чтобы вычислить  периодограмму. Более часто, значения периодограммы вычисляются как:

Pk = синус-коэффициентk2 + косинус-коэффициентk2 * N/2

где Pk - значения периодограммы на частоте k , и N - общая длина ряда. Значения периодограммы можно интерпретировать как дисперсию (вариацию) данных на соответствующей частоте. Обычно значения периодограммы изображаются в зависимости от частот или периодов.

 

Проблема  рассеяния 

В примере, приведенном выше, функция  синуса с частотой 0.2 была "вставлена" в ряд. Однако из-за того, что длина  ряда равна 16, ни одна из частот, полученных в таблице результатов, не совпадает  в точности с этой частотой. На практике в этих случаях часто оказывается, что соответствующая частота "рассеивается" на близкие частоты. Например, могут  быть найдены большие значения периодограммы  для двух близких частот, когда  в действительности существует только одна основная функция синуса или  косинуса с частотой, которая попадает на одну из этих частот или лежит  между найденными частотами. Существует три подхода к решению проблемы рассеяния:

При помощи добавление констант во временной  ряда ряда можно увеличить частоты,

Применяя  сглаживание ряда перед анализом, можно уменьшить рассеяние или

Применяя  сглаживание периодограммы, можно  идентифицировать основные частотные  области или (спектральные плотности), которые существенно влияют на циклическое  поведение ряда.

Ниже  смотрите описание каждого из этих подходов.

 

 

Добавление  констант во временной ряд (пэддинг)

Так как частотные величины вычисляются  как N/t, можно просто добавить в ряд константы (например, нули), и таким образом получить увеличение частот. Фактически, если вы добавите в файл данных, описанный в примере выше, десять нулей, результаты не изменятся; т.е. наибольшие пики периодограммы будут находиться по-прежнему на частотах близких к .0625 и .2. (Добавление констант во временной ряд также часто желательно для увеличения вычислительной эффективности).

 

Косинус-сглаживание 

Так называемый процесс косинус-сглаживания - рекомендуемое преобразование ряда, предшествующее спектральному анализу. Оно обычно приводит к уменьшению рассеяния в периодограмме. Логическое обоснование этого преобразования подробно объясняется в книге Bloomfield (1976, стр. 80-94). По существу, количественное отношение (p) данных в начале и в конце ряда преобразуется при помощи умножения на веса:

wt = 0.5*{1-cos[*(t - 0.5)/m]}     (для t=0 до m-1)

wt = 0.5*{1-cos[*(N - t + 0.5)/m]}     (для t=N-m до N-1)

где m выбирается так, чтобы 2*m/N было равно коэффициенту пропорциональности сглаживаемых данных (p).

 

Окна данных и оценки спектральной плотности .

На  практике, при анализе данных обычно не очень важно точно определить частоты основных функций синусов  или косинусов. Скорее, т.к. значения периодограммы - объект существенного  случайного колебания, можно столкнуться  с проблемой многих хаотических  пиков периодограммы. В этом случае хотелось бы найти частоты с большими спектральными плотностями, т.е. частотные  области, состоящие из многих близких  частот, которые вносят наибольший вклад в периодическое поведение  всего ряда. Это может быть достигнуто путем сглаживания значений периодограммы  с помощью преобразования взвешенного  скользящего среднего. Предположим, ширина окна скользящего среднего равна  m (должно быть нечетным числом); следующие наиболее часто используемые преобразования (заметим: p = (m-1)/2).

 

Окно Даниэля (равные веса). Окно Даниэля (Daniell, 1946) означает простое (с равными весами) сглаживание скользящим средним значений периодограммы; т.е. каждая оценка спектральной плотности вычисляется как среднее m/2 предыдущих и последующих значений периодограммы.

 

Окно Тьюки. В окне Тьюки (Blackman and Tukey, 1958) или Тьюки-Ханна (Hanning) (названное в честь Julius Von Hann), для каждой частоты веса для взвешенного скользящего среднего значений периодограммы вычисляются как:

wj = 0.5 + 0.5*cos(*j/p)    (для j=0 до p)

w-j = wj    (для j  0)

 

Окно Хемминга. В окне Хемминга (названного в честь R. W. Hamming) или Тьюки-Хемминга (Blackman and Tukey, 1958), для каждой частоты, веса для взвешенного скользящего среднего значений периодограммы вычисляются как:

wj = 0.54 + 0.46*cos(*j/p)    (для j=0 до p)

w-j = wj    (для j  0)

 

Окно Парзена. В окне Парзена (Parzen, 1961), для каждой частоты, веса для взвешенного скользящего среднего значений периодограммы вычисляются как:

wj = 1-6*(j/p)2 + 6*(j/p)3    (для j = 0 до p/2)

wj = 2*(1-j/p)3    (для j = p/2 + 1 до p)

w-j = wj    (для j  0)

 

Окно Бартлетта. В окне Бартлетта (Bartlett, 1950) веса вычисляются как:

wj = 1-(j/p)    (для j = 0 до p)

w-j = wj    (для j  0)

 

За  исключением окна Даниэля, все весовые  функции приписывают больший  вес сглаживаемому наблюдению, находящемуся в центре окна и меньшие веса значениям  по мере удаления от центра. Во многих случаях, все эти окна данных получают очень похожие результаты.

 

 

Подготовка  данных к анализу .

Теперь  рассмотрим несколько других практических моментов спектрального анализа. Обычно, полезно вычесть среднее из значений ряда и удалить тренд (чтобы добиться стационарности) перед анализом. Иначе  периодограмма и спектральная плотность "забьются" очень большим значением  первого коэффициента при косинусе (с частотой 0.0). По существу, среднее - это цикл частоты 0 (нуль) в единицу  времени; т.е. константа. Аналогично, тренд  также не представляет интереса, когда  нужно выделить периодичность в  ряде. Фактически оба этих эффекта  могут заслонить более интересные периодичности в данных, поэтому  и среднее, и (линейный) тренд следует  удалить из ряда перед анализом. Иногда также полезно сгладить данные перед анализом, чтобы убрать случайный  шум, который может засорять существенные периодические циклы в периодограмме.

 

 

 

Результаты  для случая, когда в ряде отсутствует периодичность

В заключение, зададим вопрос: что, если повторяющихся циклов в данных нет, т.е. если каждое наблюдение совершенно независимо от всех других наблюдений? Если распределение наблюдений соответствует  нормальному, такой временной ряд  может быть белым шумом (подобный белый шум можно услышать, настраивая радио). Если исходный ряд - белый шум, то значения периодограммы будут  иметь экспоненциальное распределение. Таким образом, проверкой на экспоненциальность значений периодограммы можно узнать, отличается ли исходный ряд от белого шума. Пользователь может также построить одновыборочную статистику d статистику Колмогорова-Смирнова (cм. также раздел Непараметрическая статистика и распределения).