Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Апреля 2012 в 11:47, курсовая работа
Реальной электрической цепью называется совокупность устройств, предназначенных для передачи, распределения и преобразования энергии. В общем случае электрическая цепь содержит источники электрической энергии, приемники электрической энергии, измерительные приборы, коммутационную аппаратуру, соединительные линии и провода.
1. Электрическая цепь и ее элементы
2. Структура электрической цепи
3. Законы Кирхгофа
4. Расчет разветвленных цепей с несколькими источниками
4.1. Метод уравнений Кирхгофа
4.2. Метод контурных токов
4.3. Метод узловых потенциалов
4.4. Метод наложения
4.5. Метод эквивалентного источника напряжения (генератора)
Список литературы
4. Разрешить полученную систему уравнений относительно контурных токов, используя метод Крамера.
5. Определить токи ветвей через контурные токи по I закону Кирхгофа.
6. В случае необходимости, с помощью обобщенного закона Ома определить потенциалы узлов.
7. Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.
Если в цепи содержится q источников тока, количество совместно рассматриваемых уравнений сокращается на q и становится равным р – q, поскольку токи в таких ветвях известны (для контуров с Iii = J уравнение можно не записывать). В этом случае следует выбирать такую совокупность независимых контурных токов, чтобы часть из них стала известными. Для этого необходимо, чтобы каждый источник тока входил только в один контур. Напряжения UJ источников войдут в качестве неизвестных в правые части уравнений, т.е. в состав контурных ЭДС.
Ток в любой ветви схемы можно найти по обобщенному закону Ома. Для того, чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать значение потенциалов узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по I закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, – один из основных расчетных методов. В том случае, когда п-1 < p (n – количество узлов, p – количество независимых контуров), данный метод более экономичен, чем метод контурных токов.
Проиллюстрируем на простом примере получение методики расчета электрической цепи методом узловых потенциалов:
1. Записываем (n – 1) уравнение по I закону Кирхгофа (при выбранном опорном узле 4, потенциал которого условно принимаем равным нулю)
узел 1: – I1 + I4 - I6 = 0
узел 2: I1 – I2 + J3 = 0
узел 3: I2 – I4 + I5 = 0
2. Для каждого из m токов записываем выражение по обобщенному закону Ома через потенциалы узлов с учетом, что потенциал 4 = 0:
3. Полученные в п. 2 выражения подставляем в уравнения, составленные по I закону Кирхгофа
Приведем подобные слагаемые при различных потенциалах и получим каноническую систему уравнений:
Введем обозначения:
В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид:
в матричной форме
Собственная проводимость узла (Gii) представляет собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, соединенных в i-ом узле.
Общая проводимость i-ого и j-ого узлов (Gij = Gji) представляет собой взятую со знаком «–» сумму проводимостей ветвей, присоединенных одновременно к i-ому и j-ому узлам.
Проводимости ветвей с источниками тока полагаются равными нулю и в собственные и общие проводимости не входят!
Узловой ток (Jii) состоит из двух алгебраических сумм: первая содержит токи источников тока, содержащиеся в ветвях, соединенных в i -ом узле; вторая представляет собой произведение ЭДС источников напряжения на проводимости соответствующих ветвей, соединенных в i -ом узле. Со знаком «+» в эту сумму входят E и J источников, действие которых направлено к узлу, со знаком «–» остальные.
Решение системы уравнений по методу узловых потенциалов в общем случае выполняется методом Крамера при помощи определителей:
Тогда неизвестные потенциалы могут вычислены следующим образом:
Нетрудно, показать, что аналогичную систему уравнений можно построить для случая n узлов в цепи. Тогда необходимо составить для (n-1) узлов соответствующие уравнения, полагая потенциал n-ого узла, равным нулю.
Таким образом, методика расчета цепи постоянного тока методом узловых потенциалов следующая:
1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.
2. Произвольно выбрать опорный узел (n)и пронумеровать все остальные (n-1)-e узлы.
3. Определить собственные и общие проводимости узлов, а также узловые токи, т.е. рассчитать коэффициенты в системе уравнений.
4. Записать систему уравнений в виде
– матричная форма
Или в развернутом виде:
алгебраическая форма
В этой системе каждому узлу соответствует отдельное уравнение.
5. Полученную систему уравнений решить относительно неизвестных (n – 1) потенциалов при помощи метода Крамера.
6. С помощью обобщенного закона Ома рассчитать неизвестные токи.
7. Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.
Порядок расчета не зависит от вида источников, действующих в цепи. Однако, расчет упрощается в случае, когда между одной или несколькими парами узлов включены идеализированные источники ЭДС. Тогда напряжения между этими парами узлов становятся известными величинами, определенными условиями задачи. Для успешного решения подобных задач необходимо правильно обозначить опорный узел, в качестве которого может быть выбран только один из узлов, к которым присоединена ветвь с идеализированным источником ЭДС.
Если таких ветвей q, то количество уравнений в системе сократится до
k = n – 1 – q.
Линейная электрическая цепь описывается системой линейных уравнений Кирхгофа. Это означает, что она подчиняется принципу наложения (суперпозиции), согласно которому совместное действие всех источников в электрической цепи совпадает с суммой действий каждого из них в отдельности.
Так как принцип наложения следует из общих свойств линейных уравнений, то его можно применять для определения любых физических величин, которые связаны между собой линейной зависимостью. В применении к электрическим цепям можно определить не только токи при заданных сопротивлениях, ЭДС и токах источников, но и напряжения при заданных токах и известных сопротивлениях. Методом нельзя пользоваться для определения мощности, так как мощность квадратичная функция тока или напряжения и принципу суперпозиции не подчиняется.
Метод наложения опирается на принцип наложения и заключается в следующем: ток или напряжение произвольной ветви или участка разветвленной электрической цепи постоянного тока определяется как алгебраическая сумма токов или напряжений, вызванных каждым из источников в отдельности.
При использовании этого метода задача расчета разветвленной электрической цепи с n источниками сводится к совместному решению n цепей с одним источником.
Методика расчета линейной электрической цепи методом наложения:
1. Произвольно задать направление токов в ветвях исследуемой цепи.
2. Исходную цепь, содержащую n источников, преобразовать в n подсхем, каждая из которых содержит только один из источников, прочие источники исключаются следующим образом: источники напряжения замыкаются накоротко, а ветви с источниками тока обрываются. При этом необходимо помнить, что внутренние сопротивления реальных источников играют роль потребителей и поэтому они должны оставаться в подсхемах.
3. Определить токи каждой из подсхем, задавшись их направлением в соответствии с полярностью источника, любым из известных методом. В большинстве случаев расчет ведется по закону Ома с использованием метода эквивалентных преобразований пассивных цепей.
4. Полный ток в любой ветви исходной цепи определяется как алгебраическая сумма токов вспомогательных подсхем, причем при суммировании со знаком «+» берутся токи подсхем, направление которых совпадает с направлением тока в исходной цепи, со знаком «–» – остальные.
К достоинствам метода относят то обстоятельство, что расчет производится по частям, где составляющие тока и напряжения определяются довольно просто. Однако, поскольку решение предполагает произведение множества преобразований, метод не рекомендуется применять для схем, содержащих большое количество источников.
Пример. Определить ток I2 в цепи, изображенной на рис. 3, а.
Для данной цепи должны быть изображены две расчетные подсхемы (рис. 2.8, б и в). С помощью подсхемы 1 (рис. 3. б) найдем составляющую по формуле о токах в двух параллельных ветвях
Направление тока в подсхеме 1 совпадает с направлением искомого тока.
С помощью подсхемы 2 (рис. 3. в) найдем составляющую I2Е.
Направление тока в подсхеме 2 противоположно направлению искомого тока. Ток в исходной цепи определится следующим образом:
При расчете тока в одной из ветвей разветвленной цепи, содержащей произвольное число источников и потребителей, удобно рассматривать цепь, состоящую из двух частей: искомой ветви и остальной части. По отношению к рассматриваемой ветви вся остальная часть цепи является активным двухполюсником (рис. 4.), и задача заключается в определении тока или напряжения на зажимах активного двухполюсника при подключении к нему потребителя с сопротивлением R..
Согласно II закону Кирхгофа ток не изменится, если в цепь, образованную активным двухполюсником и потребителем, включить последовательно два идеализированных встречно направленных источника с одинаковыми ЭДС (рис. 5). Величину каждой из них выбираем совпадающей с напряжением UХХ на зажимах активного двухполюсника в режиме холостого хода, который имеет место при отключенном потребителе.
Ток I в цепи с двумя источниками определим методом наложения. С этой целью источники разбиваем на две группы (рис. 6 и 7):
1. Источники активного двухполюсника и Е1, которые сохраняются в подсхеме рис. 6.
Согласно II закону Кирхгофа:
поскольку .
2. все потребители активного двухполюсника и Е2, сохраняются в подсхеме на рис. 7.
Поскольку I = 0, полный ток I =I.
Если эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника, образованного коротким замыканием источников ЭДС и обрывом ветвей, содержащих источники тока, обозначить через Rвх, получим простую одноконтурную схему (рис. 8), которую можно рассчитать по закону Ома:
Эта формула отражает теорему об активном двухполюснике или об эквивалентном источнике напряжения: относительно любой ветви разветвленной электрической цепи вся остальная часть схемы может быть представлена как источник напряжения, ЭДС которого равна UXX, а внутренне сопротивление равно Rэкв.
При коротком замыкании ветви с нагрузкой R = 0ток превращается в ток короткого замыкания:
Параметры активного двухполюсника можно определить опытным путем. Для этого необходимо разомкнуть i-ую ветвь и измерить , затем замкнуть накоротко Ri и измерить IКЗ :
Rвх можно найти расчетным путем, если известна конфигурация цепи и величины сопротивлений.
Методика расчета линейной электрической цепи методом эквивалентного генератора:
1. Отключается потребитель в ветви с искомым током и на зажимах обозначается UXX по направлению тока.
2. В образовавшейся более простой цепи находится Uõõ с помощью II закона Кирхгофа, записанного для любого контура, содержащего Uхх. Токи в ветвях упрощенной схемы определяются любым известным методом.
3. Определяется Rвх на зажимах разомкнутой ветви при условии E=0 и J=0. В полученной пассивной цепи пользуются правилами эквивалентных преобразований для потребителей.
4. По найденным Uõõ и Rвх определяется ток в искомой ветви, значение которого может быть и отрицательным.
Замечание 1: Rвх можно найти по формуле IКЗ при условии Ri=0 любым известным методом.
Замечание 2: если ветвь, в которой определяется ток, содержит источник ЭДС, следует данный источник отнести к активному двухполюснику, отключив только сопротивление Ri. Тогда величина E войдет в расчет UXX .
Пример. Определить ток I2 в цепи, изображенной на рис. 9., а.
Запишем II закон Кирхгофа для цепи, в которой отключен потребитель R2 (рис. 9.,б):
Следовательно, .
Rвх определим по цепи (рис. 9., в), из которой исключены все источники, как .
Тогда искомый ток
18