Создание программы «Магический квадрат»

 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Курсовая  работа по программированию

     на  тему:

      «Создание программы «Магический квадрат»

 

 
 

     План 
 

     Введение………………………………………………………………………..3

     Раздел I. Исследовательская часть……………………………………………4

         1.1. История появления магических квадратов…………………………...4

         1.2. Способы заполнения магических квадратов………………………….6

     Раздел II. Конструкторская часть……………………………………………11

        2.1. Задание…………………………………………………………………11

        2.2. Назначение и область применения…………………………………...11

        2.3. Технические характеристики…………………………………………11

     Раздел III. Технологическая часть…………………………………………..14

        3.1. Разработка программы………………………………………………...14

        3.2. Текст программы………………………………………………………18

        3.3. Описание программы………………………………………………….24

        3.4. Тестирование программы……………………………………………..24

     Выводы………………………………………………………………………..26

     Литература……………………………………………………………………27 

 

         Введение 

     Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения  занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял… магические квадраты»- писал Бенджамин Франклин. Магический квадрат - это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.

     Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние  на развитие групп, структур, латинских  квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.

     Цель  данной курсовой работы – знакомство с различными магическими квадратами, латинскими квадратами и изучение областей их применения.

     А также создание программы «Магический  квадрат». Программа проверяет, образуют ли элементы двумерного массива магический квадрат. В магическом квадрате – суммы чисел по всем вертикалям, всем горизонталям и двум диагоналям одинаковы.

 

     Раздел I. Исследовательская  часть

     1.1. История появления  магических квадратов 

     МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

     Магический  квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

       

     рис.1 рис.2

     В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам  вспыхнул с новой силой. Их стали  исследовать с помощью методов  высшей алгебры .

     Основная  терминология

     Каждый  элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n² клеток и называется квадратом n-го порядка.

     В большинстве магических квадратов  используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n² + 1)/2. Доказано, что n ³ 3. Зависимость постоянной квадрата от его порядка можно проследить с помощью таблицы. 

       

     Две диагонали, проходящие через центр  квадрата, называются главными диагоналями.

     Ломаной называется диагональ, которая, дойдя  до края квадрата, продолжается параллельно  первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рис. 3).

     Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b на рис. 3.

       

     рис.3

     Правила построения магических квадратов делятся  на три категории в зависимости  от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.  

     1.2. Способы заполнения  магических квадратов   

     Магические  квадраты нечетного  порядка

     Магические  квадраты нечетного порядка можно  построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера (сиамский метод). Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

       
 
 

рис.4

     Для облегчения заполнения квадрата данным методом, а именно определения места  заполнения следующей клетки, после  края квадрата можно воспользоваться  следующей схемой

     Поставим 1 в среднюю клетку верхнего ряда и продолжим последовательность по диагонали вправо-вверх. Если очередное число на диагонали выходит за границы квадрата, мы его переставляем в соответствующее поле в квадрат (см. рис.5).

     Изучая  различные источники, мы обратили внимание на то, что можно заполнять квадраты и в другом направлении и не обязательно 1 стоит в данной позиции.

     Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в) образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.  

       Рис. 5

     Проанализировав данную схему заполнения по рисунку, мы пришли к следующему алгоритму.

1. В первом квадрате размещаем числа от 1 до n (порядок квадрата), так, чтобы на побочной диагонали стоял средний элемент этой последовательности.
2. Все остальные элементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементы на ломаной диагонали равны. Числа в сроке и столбце не должны повторяться.
3. Во втором квадрате размещаем последовательные числа, кратные порядку квадрата, начиная с 0, (количество элементов равно порядку квадрата) так, чтобы на главной диагонали стоял средний элемент этой последовательности.
4. Все остальные элементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементы на ломаной диагонали равны.

     Достраивание  до симметричной ступенчатой  ромбовидной фигуры

     Сначала исходный пустой квадрат достраивается  до симметричной ступенчатой ромбовидной  фигуры как показано на следующем  рисунке.

       
 
 
 

 

     

     

     Полученная  на шаге 1 фигура заполняется по косым  рядам снизу-вверх-направо целыми числами от 1 до n² последовательно. Результат заполнения показан на следующем рисунке:

 

     Каждое  число, расположенное в фигуре вне  исходного квадрата, переносится  по вертикали или горизонтали  внутрь исходного квадрата в самую  удаленную клетку (на n клеток).

     Способы заполнения магических квадратов  порядка, кратного четырем

     Универсальные методы составления магических квадратов  произвольного четного порядка  пока неизвестны. Однако, разработаны  индивидуальные подходы для различных  частных случаев. Ниже рассмотрен метод составления магических квадратов, порядок кратен 4. Этот метод удобно рассмотреть на примере магического квадрата 8-го порядка из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующую последовательность шагов.