Обработка дискретных сигналов

Содержание

1.                  Введение                                                                                                                             

2.                  Постановка задачи

3.                  Дискретизация сигнала

4.                  Квантование сигнала                                                                                                 

5.                  Прямое и обратное преобразование Фурье                                         

6.                  Фильтрация сигнала                                                                                                   

7.                  Структура WAV файла

8.                  Инструкция пользователя                                                                                   

9.                  Заключение                                                                                                                 

10.             Список источников                                                                                                   

11.             Листинг программы                                                                                                   

1. Введение

Анализ Фурье закладывает основы многих методов, применяющихся в области цифровой обработки сигналов (ЦОС). По сути дела, преобразование Фурье (фактически существует несколько вариантов таких преобразований) позволяет сопоставить сигналу, заданному во временной области, его эквивалентное представление в частотной области. Наоборот, если известна частотная характеристика сигнала, то обратное преобразование Фурье позволяет определить соответствующий сигнал во временной области.

В дополнение к частотному анализу, эти преобразования полезны при проектировании фильтров. Частотная характеристика фильтра может быть получена посредством преобразования Фурье его импульсной реакции. И наоборот, если определена частотная характеристика сигнала, то требуемая импульсная реакция может быть получена с помощью обратного преобразования Фурье над его частотной характеристикой.

Цифровые фильтры могут быть созданы на основе их импульсной реакции, поскольку коэффициенты фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ) идентичны дискретной импульсной реакции фильтра.

В данной работе рассмотрено прямое и обратное преобразования Фурье, принципы математического описания и ана­лиза дискретных сигналов, а также обработка сигнала с помощью фильтров.

2. Постановка задачи

Согласно варианта в виде сигнала задан звуковой файл wav100_1000_44100_16.

1.                  Выполнить квантование сигнала для заданного пользователем числа уровней квантования.

2.                  Выполнить фильтрацию сигнала с помощью ФВЧ с частотой среза 600 Гц.

3.                  Восстановить во временной области отфильтрованный сигнал

4.                  Показать на одном графике исходный, восстановленный и разностный сигнал.

5.      Рассчитать ошибку. Критерий ошибки - Суммарно-квадратичная (SSE)

3. Дискретизация сигнала.

              Сигнал — в теории информации и связи называется материальный носитель информации, используемый для передачи сообщений по системе связи. Сигналом может быть любой физический процесс, параметры которого изменяются в соответствии с передаваемым сообщением.

              Дискретизация - процесс превращения непрерывного сигнала в цифровой, путем измерения числовых значений амплитуды сигнала через равные интервалы времени.

              Согласно варианта задан уже дискретизированный сигнал, внешний вид которого приведен на рисунке 1.

Рисунок 1 – Исходный сигнал

4. Квантование сигнала

              Квантование - представляет собой замену величины отсчета сигнала ближайшим значением из набора фиксированных величин - уровней квантования. Другими словами, квантование - это округление до величины отсчета. Уровни квантования делят весь диапазон возможного изменения значений сигнала на конечное число интервалов - шагов квантования. Расположение уровней квантования обусловлено шкалой квантования. Используются как равномерные, так и неравномерные шкалы.

              На рисунке 2 показаны изображение, квантованное на 15 уровней. Сейчас считается нормой квантовать видеосигнал на 1024 уровня. Число уровней квантования при формировании цифрового звукового сигнала намного больше: от десятков тысяч до миллионов.

Рисунок 2 – Квантованный сигнал

5 Прямое и обратное преобразование Фурье.

              Любая периодическая функция f (t) – ограниченная, кусочно-гладкая может быть разложена в ряд Фурье

                                                                                                                (1)

где:

                                                                                                                                                          (2)

есть основная круговая частота, определяемая величиной T периода повторения, а 

                                                                                                                                            (3)

есть среднее значение функции f(t) в интервале от – Т/2 до Т/2,

              ;                                                                                                                              (4)

              ;                                                                                                                                            (5)

              ;                                                                                                                (6)

              ;                                                                                                                (7)

              Согласно формуле (1) функция f(t) представляется в виде суммы константы и гармоник, частота первой из которых (основная) , второй 2, 3, и т.д. Число k гармоник в разложении (1) бесконечно большое, однако чаще всего для достаточно полного представления функций f(t) практически можно взять лишь несколько первых гармоник.              

              Для апериодических процессов разложение в ряд Фурье заменяется разложение в интеграл Фурье.

                                                                                                                              (8)

где

                                                                                                                              (9)

и

                                                                                                                                                          (10)

Формулами (8) и (9) можно пользоваться при условии, что функция f(t) – абсолютно интегрированная, то есть

              Преобразования, определяемые формулами (8) и (9) являются соответственно обратным и прямым интегральными преобразованиями Фурье.

              В практической плоскости чаще имеют дело не с исходной функцией f(t) , которая зачастую бывает неизвестной, а с последовательным набором мгновенных значений некоторой функции. В этом случае, говоря о дискретном бесконечном ряде Фурье, имеют ввиду следующие преобразования:

прямое  [1]                                                                                                    (11)

и обратное [1]                                                                                                  (12)

              Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) является широко применяемым в цифровой технике методом представления информации. Прямое ДПФ выполняется над последовательностью дискретных величин конечной длительности. В результате получается так же конечной длительности дискретная последовательность величин, дающих частотно-спектральное представление указанной исходной последовательности. При обратном ДПФ по второй последовательности находится первая из них. Каждая из этих последовательностей содержит одинаковое количество N дискретных величин.

              Для дискретных величин конечной длительности N используются следующие формулы ДПФ:

формула прямого ДПФ [3]                                                                       (13)

формула обратного ДПФ [7]                                                                      (14)

              В первом случае , во втором . Считается, что при иных значениях k и n соответственно X(k) = 0 и x(n) = 0.

Рисунок 3 Спектр частот исходного сигнала

6. Фильтрация сигнала

              Фильтрация- процесс преобразования исходного сигнала, в результате которого меняются его частотные и фазовые характеристики. В зависимости от воздействия  фильтра на амплитудно-частотную характеристику  сигнала (АЧХ) различают фильтры:

   нижних частот (ФНЧ)

   высоких частот (ФВЧ)

   полосно-пропускающие (полосовые)

   полосно-задерживающие (режекторные)

              Фильтр верхних часто́т (ФНЧ) — электронный или любой другой фильтр, пропускающий высокие частоты входного сигнала, при этом подавляя частоты сигнала меньше, чем частота среза. Степень подавления зависит от конкретного типа фильтра.

После прямого дискретного преобразования сигнала и соответственно представление его в частотном спектре становится особенно удобно реализация фильтрации по его частотной составляющей. Достаточно оставить без изменения амплитуды гармоник  входящие в заданный частотный диапазон и  обнулить все остальные, после чего восстановить  с помощью обратного дискретного преобразования Фурье измененный отфильтрованный сигнал.  

Рисунок 4 – Отфильтрованный сигнал.

Рисунок 5 - Восстановленный сигнал

7. Организация WAV файлов

Рассмотрим структуру стандартного WAV-файла. Он представляет собой две, четко делящиеся, области. Одна из них – заголовок файла, другая – область данных. В заголовке файла хранится следующая информация:

Размер файла.

Количество каналов.

Частота дискретизации.

Количество бит в сэмпле (глубина звучания).

Звук состоит из колебаний, которые при оцифровке приобретают ступенчатый вид. Этот вид обусловлен тем, что компьютер может воспроизводить в любой короткий промежуток времени звук определенной амплитуды (громкости) и этот короткий момент далеко не бесконечно короткий. Продолжительность этого промежутка определяет частота дискретизации. Например, если файл с частотой дискретизации 44.1 kHz, это значит, что тот короткий промежуток времени равен 1/44100 секунды (следует из размерности величины Гц = 1/с). Современные звуковые карты поддерживают частоту дискретизации до 192 kHz. Так, со временем разобрались.

Амплитуда сигнала выражается числом, занимаемым в памяти (файле) 8, 16, 24, 32 бит (теоретически можно и больше). Таким образом, чем больше число занимает места в памяти (файле), тем больше диапазон значений для этого числа, а значит и для амплитуды.

Зашифрованный WAV файл имеет следующую структуру: