Моделирование динамики систем на основе цепи Маркова с дискретным временем

 

    Сравнив матрицы X вероятностей перехода, полученные практическим и теоретическим путём, можно сделать вывод, что в целом эти матрицы сходятся. Расхождение в данных все же имеется. От него невозможно избавится. При увеличении количества тестов величина расхождения будет стремиться к нулю. Из всего этого следует, что теоретические данные можно считать верными. Матрица X с помощью матрицы Р и вектора X(t0) была построена правильно.  
 

                  Структурирование  Р 

    Чтобы получить матрицы Q,R,W, сперва нужно найти невозвратное и эргодическое множества. Это можно сделать, определив нулевую матрицу или (для данного графа) оценкой графа ЦМ. Для данного варианта выделим множества невозвратных (Т) и эргодических (Ť) состояний: 

    Т={S1, S2, S3, S4} 

    Ť={S5, S6, S7} 

    Только  одно состояние данной ЦМ является поглощающим – S7.

    С помощью этих данных выделим из матрицы переходных состояний матрицы Q, W, R: 

    Q

 

W  

 

R  

 

     Матрица N и средняя трудоёмкость процесса 

    Теперь можно вычислить среднее число тактов пребывания процесса в каждом из невозвратных состояний и представить их в виде матрицы N (N=(E-Q) ̵ ˡ): 

 

    i-ая строка матрицы N определяет среднее число тактов пребывания процесса в различных состояниях невозвратного множества при старте из S i-ого. В следующей таблице показано сколько раз в среднем процесс был в каждом из 4-х состояний при старте из S1 (просто берём первую строку матрицы N): 

 

    Данные  о трудоемкостях 4-х первых вершин: 

 

    Это позволяет вычислить среднюю  трудоёмкость вычислительного процесса: 

С∑ = 7,332827 

            Оценка  результатов тестирования программы 2 

    Необходимо  теоретические данные сравнить с  результатами, полученными модифицированной для этой цели программой моделирования  ЦМ.

    Строка  матрицы N, соответствующая стартовому состоянию S1, полученная с помощью модифицированной программы (проведено 10000 тестов): 

 

    Данную  строку можно считать практическим вычислением строки матрицы N, соответствующей состоянию S1. Сравнив теоретические данные с практическими, можно сделать вывод о том, что теоретическая строка состояния S1 верна, так как на практике были получены приблизительно те же значения. В данном случае расходимость данных можно считать незначительной. 

            Среднеквадратичные  отклонения от среднего

          пребывания процесса во множестве Т и трудоёмкости 

    Зная, что N – правильная, найдем дисперсию числа пребываний процесса во множестве невозвратных состояний. Этот показатель характеризует степень разброса величин nij относительно среднего. 

    D = N(2Ndg - E) – Nsq 

    Nsq – матрица, образованная из квадратов элементов матрицы N.

    Ndg – матрица, полученная обнулением всех элементов матрицы N, кроме главной диагонали. 

    Nsq

 

    2Ndg

 
 
 

    С помощью этой матрицы вычисляем  матрицу D: 

 

    Теперь, определив дисперсию, можно найти  среднеквадратичное отклонение числа  пребываний процесса от среднего (Ϭ). Оно получается извлечением квадратного корня из каждого элемента матрицы D. 

    Ϭ

 

    Располагая  матрицей Ϭ, можно вычислить среднеквадратичное отклонение трудоёмкости вычислительного процесса от среднего (ϬΣ): 

ϬΣ = С1*Ϭ21 + С2*Ϭ22 + С3*Ϭ23 + С4*Ϭ24 = 11,61657 

    Исходя  из полученных данных, можно сделать вывод, что трудоёмкость вычислительного процесса: диапазон изменения среднего значения трудоёмкости во множестве невозвратных состояний системы это - 7,332827 - 11,61657. 

                   Оценка предельных вероятностей

       пребывания процесса  во множестве Ť 

    Теперь  нужно провести оценки предельных вероятностей пребывания процесса в состояниях эргодического  множества. Для этого необходимо найти матрицу Pпред. Это позволит определить вероятность перехода системы во множество эргодических состояний. 

    Pпред  = lim Pᵏ, где k-> ∞ 

    Эту матрицу можно найти 2-мя способами  – прямое возведение Р в высокую  степень и спектральное разложение матрицы Р.

    Первый  способ осуществляется простым перемножением матрицы Р и результата перемножения само на себя. В итоге находим матрицу первого метода: 

    Рпред