Метод математического моделирования

ВЕДЕНИЕ

       Моделирование в научных исследованиях стало  применяться еще в глубокой древности  и постепенно захватывало все  новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство  и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание  практически во всех отраслях современной  науки принес методу моделирования  ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

       Термин "модель" широко используется в  различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых  значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами  получения знаний.

       Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в  процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

       Под моделирование понимается процесс  построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с  такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс  моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения  по аналогии, и конструирование научных  гипотез.

       Главная особенность моделирования в  том, что это метод опосредованного  познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь  ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает  интересующий его объект. Именно эта  особенность метода моделирования  определяет специфические формы  использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов  познания.

       Необходимость использования метода моделирования  определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать  или вовсе невозможно, или же это  исследование требует много времени  и средств.

       Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения  познающего субъекта и познаваемого объекта.

       Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

       Таким образом, изучение одних сторон моделируемого  объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому  любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого  следует, что для одного объекта  может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих  внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих  объект с разной степенью детализации.

       На  втором этапе процесса моделирования  модель выступает как самостоятельный  объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение "модельных" экспериментов, при  которых сознательно изменяются условия функционирования модели и  систематизируются данные о ее "поведении". Конечным результатом этого этапа  является множество знаний о модели R.

       На  третьем этапе осуществляется перенос  знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний S об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о  модели должны быть скорректированы  с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или  были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с  модели на оригинал, если этот результат  необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.

       Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и  их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

       Для понимания сущности моделирования  важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается  не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда  происходит объединение и обобщение  результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств  познания.

       Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом  объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого  цикла моделирования, обусловленные  малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить  в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

Глава I

1.   Особенности применения  метода математического  моделирования в  экономике.

       Проникновение математики в экономическую науку  связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся  на протяжении нескольких веков в  основном в связи с потребностями  физики и техники. Но главные причины  лежат все же в природе экономических  процессов, в специфике экономической науки.

       Большинство объектов, изучаемых экономической  наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная  система.

       Наиболее  распространено понимание системы  как совокупности элементов, находящихся  во взаимодействии и образующих некоторую  целостность, единство. Важным качеством  любой системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

       Сложность системы определяется количеством  входящих в нее элементов, связями  между этими элементами, а также  взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной  системы. Она объединяет огромное число  элементов, отличается многообразием  внутренних связей и связей с другими  системами (природная среда, экономика  других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

       Сложность экономики иногда рассматривалась  как обоснование невозможности  ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно  объект любой природы и любой  сложности. И как раз сложные  объекты представляют наибольший интерес  для моделирования; именно здесь  моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими  способами исследования.

Потенциальная возможность математического моделирования  любых экономических объектов и  процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы  математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Глава II 

2.1. Транспортная задача 

         Транспортная задача линейного  программирования получила в  настоящее время широкое распространение  в теоритических обработках и  практическом применении на транспорте  и в промышленности. Особенно  важное значение она имеет в деле рационализации постановок важнейших видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, а также оптимального планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта.

     Кроме того, к задачам транспортного  типа сводятся многие другие  задачи линейного программирования  – задачи назначениях,  сетевые, календарного планирования.

    Формальным признаком транспортной  задачи является то, что каждая  переменная входит лишь в два  ограничения, причем с коэффициентами, равными единице. Если при этом  критерий оптимальности (сумма  расходов, общий пробег)прямо пропорционален значениям переменных(транспортных потоков), возникает линейная транспортная задача. В других случаях рассматривается нелинейная транспортная задача, решаемая другими методами. 

     Транспортная задача линейного программирования формулируется следующим образом. Необходимо минимизировать транспортные расходы 
 
 
 
при ограничениях 
 
, 
 
где c_ij - стоимость перевозки единицы продукции из пункта i в пункт j; x_ij - планируемая величина перевозок из пункта i в пункт j (план перевозок X - матрица размерности m ×n); b_j - потребности в продукте в пункте j; a_i - запасы в пункте i. 
 
Предполагается, что модель закрытого типа, то есть  . 
 
Если модель открытого типа  , то ее всегда можно привести к закрытому типу введением фиктивного пункта производства или фиктивного пункта потребления: 
 
Если  , то  , тогда  , причем  . 
 
Если  , то  ,   и  . 
 
Транспортная задача представляет собой задачу линейного программирования и, естественно, ее можно решить с использованием метода последовательного улучшения плана или метода последовательного уточнения оценок. В этом случае основная трудность бывает связана с числом переменных задачи (m´n) и числом ограничений (m+n). Поэтому специальные алгоритмы оказываются более эффективными. К таким алгоритмам относятся метод потенциалов и венгерский метод.  

  2.2. Составление опорного плана.

      Решение  транспортной  задачи   начинается  с  нахождения  опорного  плана. Для  этого  существуют  различные  способы. Например, способ северо-западного  угла, способ  минимальной  стоимости  по  строке, способ  минимальной  стоимости  по  столбцу  и  способ  минимальной  стоимости  таблицы. 

      Рассмотрим  простейший, так  называемый  способ  северо-западного  угла. Пояснить  его  проще  всего  будет  на  конкретном  примере:

      Условия  транспортной  задачи  заданы транспортной  таблицей.

      Таблица № 1