Графический интерфейс программы VisSim v5

laplace(a)

Результат:

ans =1/s^2

 

Если необходимо найти  преобразование Лапласа переменной n, представляющей собой число например n=2 то функция laplace(F)значений не дает. Это объясняется тем что в данном случае в выражении F отсутствует переменная интегрирования.

 

Код MatLab:

syms abcdtw;

laplace(a+b*c)

laplace(a+d*c)

laplace(a+d*w)

laplace(a+w*t)

Результат:

ans = a/s + b/s^2

ans = a/s + c/s^2

ans = a/s + d/s^2

ans = a/s + w/s^2

 

Функция laplace(F,s)

laplace(F,s) – преобразование Лапласа по формуле (2)

 

Код MatLab:

syms s;

laplace(3.5,s)

Результат:

ans =7/(2*s)

 

laplace(F,s) – преобразование Лапласа по переменной ω .

Функция обеспечивает преобразование функции по формуле:

(4)

Код MatLab:

syms abcxst;

laplace(a,t,s)

laplace(t*exp(-a*t),t,s)

laplace(a+b*c,b,s)

Результат:

ans =a/s

ans =1/(a + s)^2

ans =a/s + c/s^2

 

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Пусть имеется многоканальная система массового обслуживания с отказами. Интенсивность потока заявок на обслуживание λ , интенсивность обслуживания заявки μ , число обслуживающих каналов N=2.

 

 

Найдем теперь финальные  вероятности состояний, воспользовавшись предельными теоремами (3). На основании  имеем итоговую формулу:

 

То есть, если интенсивность  потока заявок равно интенсивности  обслуживания , то Рс=4/5=0,8 .

 

Лабораторная  работа №6

 

Обратное преобразование Лапласа

Для получения решения  системы дифференциальных уравнений во временной области необходимо полученной решение в преобразованиях Лапласа представить в виде функции t.

(5)

Существуют таблицы обратных преобразований различных функций  однако при наличии универсальных  программных средств символьной математики обращаться к ним нет  необходимости:

iLaplace (L(s), t),

где L(s)- прямое преобразование Лапласа,

t- аргумент искомой функции f(t)

 

Код MatLab:

syms abstl;

l = (a+b*s)/ s^2;

ilaplace(l,t)

Результат:

ans = b + a*t

 

Код MatLab:

syms stP;

P = (s^2+5*s+4)/(s*(s^2+5*s+5))

ilaplace(P,t)

Результат:

P = (s^2 + 5*s + 4)/(s*(s^2 + 5*s + 5))

ans = (cosh((5^(1/2)*t)/2) + 5^(1/2)*sinh((5^(1/2)*t)/2))/(5*exp((5*t)/2)) + 4/5

 

Задачи управления

При анализе систем управления задача формулируется следующим  образом:

Дано:

1. Структурная схема системы(блок-схема)
2. Передаточные функции звеньев системы
3. Значение переменных передаточных звеньев

 

Необходимо определить:

1. устойчивость системы управления
2. качество переходных процессов
3. точность системы

 

При синтезе системы управления задача формулируется иначе:

Необходимо создать из имеющихся звеньев структурную  схему которая удовлетворяла  условиям устойчивости (запас по фазе и амплитуде). Качество переходных процессов, форма переходного процесса, длительность , величина перерегулирования. Характерными особенностями исследований с помощью MatLab являются:

• Простота
• Высокая наглядность
• Возможность получения характеристик системы практически любой сложности.

MatLab позволяет:

• Исследовать устойчивость системы управления
• Получать переходные и частотные характеристики системы
• Исследовать качество переходных процессов
• Выбрать параметры звеньев. Вид , и характеристики обратной связи с целью обеспечения требуемых динамических свойств системы.

 

Функции MatLab для создания передаточных функций звеньев системы:

Функция tf()

tf(n,m) где n- вектор коэффициента знаменателя

m – вектор коэффициента передаточной функции

 

Функцияtf() служит для функций и звеньев в целом.

 

Необходимо передать функцию 

Код MatLab:

n = [2 5]

m= [1 0 2 1]

q=tf(n,m)

 

Результат:

Transfer function:

    2 s + 5

  -------------

s^3 + 2 s + 1

 

Функции pole() и zero()

Предназначены для определения  соответственных полюсов и нулей  передаточной функции.

Они имеют вид:

pole(qs)

zero(qs)

где qs – имя передаточной функции заданной оператором tf()

Нулями передаточной функции  называются корни числителя а  полюсами корни знаменателя.

 

Код MatLab:

n = [2 5]

m= [1 0 2 1]

q=tf(n,m)

p= pole(q)

z= zero(q)

Результат:

p = 0.2267 + 1.4677i

0.2267 - 1.4677i

-0.4534         

z =-2.5000

Функции roots(p) и poly(r)

Функции предназначены соответственно для вычисления корней полинома и  его восстановления по значениям  корней.

Эти функции имеют вид:

roots(p)

poly(r)

p – вектор коэффициентов полинома

r–вектор корней полинома

 

 

Код MatLab:

p= [1 3 0 4]

r= roots(p)

p= poly(r)

Результат:

r =   -3.3553         

0.1777 + 1.0773i

0.1777 - 1.0773i

p = 1.0000    3.0000   -0.0000    4.0000

 

Функция conv()

Conv(P,q),

где P,q – векторы коэффициентов полиномов P(s) и q(s)

 

 

Код MatLab:

p=[3 2 1]

q= [1 4]

g=conv(p,q)

 

Результат:

g =3    14     9     4

 

Функция polyval()

polyval(n,k) гдеn- вектор полинома

k- значение переменной s

 

 

Код MatLab:

p=[3 2 1]

z=polyval(p,-2)

Результат:

 z =9

 

Операции с  передаточными функциями звеньев

Сложение передаточных функций

 

Код MatLab:

n1=[10]

m1=[1 2 5]

n2=[2 12 15]

m2=[1 3 7 5]

z1=tf(n1,m1)

z2=tf(n2,m2)

G=z1+z2

Результат:

Transfer function:

      10

-------------

s^2 + 2 s + 5

 

 

Transfer function:

  2 s^2 + 12 s + 15

---------------------

s^3 + 3 s^2 + 7 s + 5

 

 

Transfer function:

2 s^4 + 26 s^3 + 79 s^2 + 160 s + 125

-----------------------------------------

s^5 + 5 s^4 + 18 s^3 + 34 s^2 + 45 s + 25

 

Лабораторная работа №7

Пример анализа  динамики системы управления

G₁(s)

G₂(s)

 

G₃(s)

 

X(s)

 

U₁(s)

 

U₂(s)

 

Y(s)

 

 

 

 

 

 

Необходимые исследования:

1. Динамические свойства разомкнутой системы. Определить устойчивость переходных процессов
2. влияние обратной связи на устойчивость и качество переходных процессов

 

Решать поставленные задачи будем в такой последовательности:

1. получение передаточной функции системы управления
2. Определение нулей и полюсов передаточной функции разомкнутой системы
3. определение расположения нулей и полюсов на плоскостиS
4. Исследование качества переходных процессов
5. Выбор на основании предыдущих исследований вида обратной связи
6. Исследование устойчивости и качества переходных процессов в системе с обратной связью

 

Образование передаточной функции разомкнутой системы:

 

Код MatLab:

K1=10;

K2=5;

T1=1.5;

T2=3.5;

T3=4.7;

n1=[K1]; m1=[1]; z1=tf(n1,m1);

n2=[K2]; m2=[T1 1 0]; z2=tf(n2,m2);

n3=[T2 1]; m3=[T3 1]; z3=tf(n3,m3);

G = z1*z2*z3

 

Результат:

Transfer function:

175 s + 50

----------------------

7.05 s^3 + 6.2 s^2 + s

 

 

Определение нулей  и полюсов передаточной функции  G(s)

 

P=pole(G)

N=zero(G)

 

Расположения  нулей и полюсов на комплексной  плоскости S

 

Pzmap(g)

 

Анализ устойчивости системы

 

Анализ полей и полюсной передаточной функции позволяет  сделать вывод, что система неустойчива т.к. один из полюсов равен нулю.

 

Исследование  качества переходного процесса step(G)

Получение передаточной функции замкнутой системы

 

Исследуем теперь влияние  обратной связи на динамику системы  управления.

Передаточная функция  замкнутой системы определяется через передаточную функцию разомкнутой  системы при отрицательной обратной связи в соответствии с выражением

 

Код MatLab:

feedback(G,1)

Результат:

Transfer function:

            175 s + 50

-------------------------------

7.05 s^3 + 6.2 s^2 + 176 s + 50

 

Исследование  устойчивости и качества переходных процессов в системе с обратной связью

 

1. Определение нулей и  полюсов передаточной функции  замкнутой системы и расположение  их на комплексной плоскости.  Т.к. числители передаточной функции  замкнутой и разомкнутой системы  совпадают то определим лишь  полюсы функции и отразим нули  и полюсы на плоскости S.

 

Код MatLab:

Gos=feedback(G,1);

PO=pole(Gos)

Результат:

PO =  -0.2967 + 4.9706i

  -0.2967 - 4.9706i

  -0.286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Анализ показал что  замкнутая система является устойчивой, её нули и полюсы расположены в  левой полуплоскости.

2. Исследование устойчивости  и качества переходных процессов  систем управления при гибкой  отрицательной обратной связи.

step(Gos)

 

Улучшить динамику системы  управления можно использую гибкую обратную связь по производным. В  качестве обратной связи применим блок с передаточной функцией.

При T=2

 

Код MatLab:

T=2;

T4=2;

n4=[T4 1];

m4=[1];

G4=tf(n4,m4)

G5=feedback(G,G4,-1)

P2=pole(G5)

pzmap(G5)

step(G5)

Результат:

 

При T4= 0.5

 

Лабораторная  работа №8

1. Переходные процессы с помощью преобразования Лапласа
2. Реакцию звена на единичное ступенчатое воздействие
3. Амплитудно-частотную и  фазо-частотную характеристику
4. Амплитудно-фазовую характеристику
5. Диаграмма Николса
6. Показатели качества переходного процесса (вид переходного процесса, его длительность и величина перерегулирования)
7. Запас устойчивости по амплитуде и фазе

 

1) Переходные процессы с помощью преобразования Лапласа

 

a) Код MatLab:

T=0.5

n=[0.5]

m=[0.5 1]

g=tf(n,m)

syms s t H;

H=laplace(H,t)

 

Результат:

T =0.5000

n =0.5000

m =0.5000    1.0000

Transfer function:

0.5

---------

0.5 s + 1

H = 1/t^2

 

2) Реакция звена на единичное ступенчатое воздействие step(g)

 

3 Амплитудно-частотная  и  фазо-частотная характеристика

 

Код MatLab:

bode(g)

w=logspace(-1,3,200)

bode(g,w)

 

Результат:

4) Амплитудно-фазовая характеристика nyquist(g)

 

 

5)  Диаграмма Никольса

Код MatLab:

w=logspace(-1,1,400)

nichols(g,w)

grid on

Результат:

 

6) Показатели качества переходного процесса(вид переходного процесса, его длительность и величина перерегулирования)

Код MatLab:

p1=pole(g)

z1=zero(g)

pzmap(g)

Результат:

p1 =-2

z1 =Empty matrix: 0-by-1

 

Этот график иллюстрирует реакцию системы на ступенчатую  функцию во времени.

График является апериодическим с длительностью в 3 секунды и  перерегулированием равным 0.5

 

7) Запас устойчивости по амплитуде и фазе

Код MatLab:

gos=feedback(g,1)

p2=pole(gos)

z2=zero(gos)