Законы сохранения энергии и момента импульса

                                                СОДЕРЖАНИЕ 

Раздел 1. Краткие сведения теоретического характера 

Раздел 2. Расчетная часть 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Раздел 1. Краткие сведения теоретического характера

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ  И МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Импульсом тела или количеством  движения называют произведение массы тела на его  скорость. P – векторная  величина. Направление  импульса тела совпадает  с направлением скорости оси и равно  нулю, момент импульса системы относительно этой же оси остается постоянным.

                                                                    

Любая частица  обладает моментом импульса, независимо от формы траектории по которой она  движется   Момент импульса замкнутой  системы относительно любой неподвижной  точки не изменяется с течением времени   

                                                           

 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Для того чтобы  решить данную задачу, необходимо использовать закон сохранения механической энергии, который гласит: Полная механическая энергия системы материальных точек, находящаяся под действием только консервативных сил, остается постоянной. 

              E = K + П_внутр + П_внеш = const, где

К – полная кинетическая энергия системы

П_внутр – полная внутренняя потенциальная энергия системы

П_внешн – полная потенциальная энергия системы в поле внешних консервативных сил

При скольжении тела по гладкой сфере сила трения не действует, сохраняется его полная механическая энергия, что позволяет определить скорость тела в любой точке траектории. В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени. По мере движения тела его кинетическая энергия увеличивается, а потенциальная энергия уменьшается.

Кинетической  энергией системы называется энергия  механического движения этой системы.

Потенциальная энергия тела в поле сил тяжести   П (h) = mgh

Если на материальную точку действуют одновременно несколько  сил, то каждая из них сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, не зависящее от других сил.

Ускорение, приобретаемое  материальной точкой, совпадает по направлению с действующей на нее силой и равно отношению  этой силы к массе материальной точки.   

Раздел  2. Расчетная часть

С вершины гладкой  сферы радиуса R соскальзывает небольшое тело массой m. Следует определить

1. На какой  высоте H от основания полусферы тело оторвется от ее поверхности?

2. Изменение  величины потенциальной энергии ΔΠ тела за время его движения от верщины полусферы до точки отрыва?

M = 30

R = 0,6

По мере движения тела по поверхности сферы его  скорость увеличивается, а сила нормального  давления на сферу со стороны тела уменьшается. Когда сила нормального давления обратится в нуль, тело оторвется от поверхности.

При скольжении тела по гладкой сфере сохраняется  его полная механическая энергия, это позволит определить скорость тела в любой точке траектории

Второй закон  Ньютона для тела имеет вид              

Условие отрыва тела от поверхности                       

Примем за нулевой  уровень потенциальной энергии  тела центр 0 сферы. Тогда закон сохранения энергии для тела принимает вид                            

                                       

Принимая во внимание, что тело движется по окружности и подставив значение силы реакции в точке отрыва во второй закон Ньютона спроецируем полученное уравнение на радиальное направление

Подставим в полученное уравнение найденную из закона сохранения энергии скорость тела, определим угол , при котором произойдет отрыв, а затем и высоту, на которой он произойдет            

                                                 

Следовательно                                             

                                                  

Подставим найденное значение скорости в уравнение второго закона Ньютона, получим                                     

                                       

далее получится                        ,

Следовательно                          

Находим высоту (отсчитываемую от центра сферы) на которой произойдет отрыв тела от поверхности 

                                                

Изменение величины потенциальной энергии  тела за время его движения от вершины полусферы до точки отрыва

     

где 

  П₁ – потенциальная энергия в начале движения

  П₂ – потенциальная энергия в точке отрыва

 

Ответ:

1.На высоте  H = 0,4м от основания полусферы тело оторвется от ее поверхности

2.Изменение величины  потенциальной энергии ΔΠ тела за время его движения от вершины полусферы до точки отрыва равно 0,0588 Дж