Закон кубов Дебая

align="justify">Значения  оказываются близкими к , соответствующему границе первой зоны Бриллюэна. Однако следует помнить, что реальная область допустимых значений вектора , совпадающая с первой зоной Бриллюэна, в рамках модели Дебая заменяется на не совпадающую с ней сферу.     

  Внутренняя энергия, отвечающая всем трем типам поляризации осцилляторов, в рамках теории Дебая вычисляется как интеграл:     

 

     Здесь и . Через ( обозначают температуру Дебая равную:      

 

     Следует отметить, что интеграл  можно  вычислить только численными методами.      Для вычисления теплоемкости следует продифференцировать  по температуре :     

 

     Полученный  интеграл, как и выражение, можно  вычислить только численными методами, график зависимости  приведен на рис. 4.

При высоких  значениях температуры  стремится к - классическому значению (см. задачу 3.4).      При малых температурах , покажем это. Примем во внимание, что при в и . Тогда пределы интегрирования можно считать нулем и бесконечностью. Сам же интеграл последней формуле окажется равным некоторой константе и из  зависимость , оказывается очевидной.      

  Закон при можно получить из следующих достаточно наглядных соображений. При основной вклад в будет обеспечен акустическими колебаниями (а именно их и описывает модель Дебая) с малыми частотами, такими, что . В -пространстве областью таких векторов является сфера, объем которой пропорционален Каждый фонон в среднем будет иметь энергию порядка . Тогда получается, что "запас" энергии пропорционален числу нормальных колебаний и средней энергии каждого из них, то есть . Теплоемкость можно найти как производную энергии по температуре:     

 

       Таким образом модель Дебая сравнительно хорошо описывает зависимость и при низких температурах. Поэтому часто ее используют для приближенного вычисления вклада в теплоемкость от акустических ветвей дисперсионной зависимости фононов, особенно при очень низких температурах. Также ее используют для прогнозирования рассеяния излучений веществом, взаимодействия нейтронов и фотонов с фононами. Для каждого вещества подобрана по сопоставлению с опытными данными о его теплоемкости своя индивидуальная температура Дебая, приводимая в различных справочниках .      Для приближенной аппроксимации оптических ветвей дисперсионной зависимости фононов часто используют модель Эйнштейна или строят модели, похожие на рассмотренную модель Дебая, изменяя в ней зависимость и последующие математические вычисления. 
 

Закон кубов Дебая

         Характеристическая температура Дебая зависит от плотности кристалла и скорости распространения колебаний (звука) в кристалле. Строго интеграл по Дебаю надо решать на ЭВМ.

           

 

Характеристическая  температура Дебая  (Физ. энциклопедия)

Na  150   Cu  315   Zn   234    Al   394   Ni   375   Ge   360    Si   625

A.У 157         342          316         423          427          378         647

Li  400    K    100    Be  1000   Mg  318   Ca   230   B   1250   Ga  240

As  285   Bi   120    Ar    85     In   129     Tl    96    W    310   Fe  420

Ag  215  Au   170   Cd   120    Hg   100   Gd   152   Pr    74     Pt  230

La  132   Cr  460    Mo   380    Sn(белое) 170, (серое) 260    C(алмаз) 1860

Для оценки характеристической температуры Дебая  можно пользоваться эмпирической формулой Линдеманна: Q_D =134,5[Тпл/ (АV^2/3)]^1/2, здесь А -атомная масса металла. Для температуры Эйнштейна аналогично, но 1-ый множитель берут 100.

Биография  Петр Джозеф Уильям Дебая

          Нидерландско-американский физик Петер Джозеф Уильям Дебай (Петрус Йозефус Вильгельмус Дебьо) родился в г. Маастрихте в Нидерландах в семье Марии Дебьо (в девичестве Рюмкенс) и Вильгельмуса Йоганнеса Дебьо, контролера фирмы по производству металлической проволоки. В начальной и средней школе изучал иностранные языки, математику и естествознание. По окончании школы в 1901 г. он поступил в Ахенский технический университет в Германии по специальности инженер-электрик. В Ахене Дебай (так позднее он стал писать свою фамилию) проявил интерес к химии и физике. Один из его преподавателей, физик Макс Вин, разрешил Дебаю проводить несложные эксперименты в институтской физической лаборатории, когда она была свободна, что и пробудило у него интерес к научным исследованиям. Еще будучи студентом последнего курса, он уже являлся ассистентом Арнольда Зоммерфельда, который впоследствии стал профессором технической механики.  В 1906 г., год спустя после получения диплома инженера-электрика,     Дебай вслед за Зоммерфельдом перешел в Мюнхенский университет, где и работал в течение пяти лет его помощником. В 1908 г. Дебай завершил свою диссертацию о давлении света на шары, обладающие электрическими свойствами, и получил степень доктора по физике. Через два года он становится лектором Мюнхенского университета, но покидает его в 1911 г., направившись в Цюрихский университет в Швейцарию к Альберту Эйнштейну, где становится профессором теоретической физики. В Цюрихе Дебай начал исследования структуры молекул. Хотя химический состав сложных молекул был в основном уже известен, в то время имелись лишь ограниченные данные о физических и структурных связях между атомами. В течение года Дебай сосредоточил свое внимание на распределении электрических зарядов в атомах и молекулах. Особый интерес он проявил к полярности (ориентации положительных и отрицательных зарядов) и обнаружил, что знание степени полярности (дипольного момента молекулы и составляющих ее атомов) позволяет оценить относительное расположение химически соединенных атомов. Дебай также пересмотрел квантовую теорию Эйнштейна об удельной теплоемкости (количество энергии, необходимой для поднятия температуры вещества на 1 °С) и вывел формулу для вычисления ассоциативной температуры, которую сейчас называют температурой Дебая.    В 1912 г. Дебай перешел в Утрехтский университет в Нидерландах, а через два года стал профессором теоретической физики Гёттингенского университета, где и оставался на протяжении следующих шести лет. В течение этого времени в молекулярных исследованиях Дебая появляется новое направление, основанное на недавнем открытии Макса фон Лауэ, гласящем, что рентгеновские лучи, проходя через кристаллы, дифрагируют или отклоняются в зависимости от природы исследуемого образца. Зная, что длины волн рентгеновских лучей достаточно малы для измерения расстояния между атомами в молекуле, Дебай продемонстрировал взаимосвязь между дифрагированными пучками и тепловым движением атомов в кристаллах. Решение появилось в 1916 г., когда, работая с Паулем Шеррером, он понял, что даже в порошке мельчайших или неидеальных кристаллов достаточное количество кристаллов располагается таким образом, что полученные данные дифракции рентгеновских лучей могут охарактеризовать молекулярную структуру этих кристаллов. Совместно с Шеррером он и разработал метод исследования структуры мелкокристаллических материалов с помощью дифракции рентгеновских лучей (метод Дебая – Шеррера). В 1920 г. Дебай вернулся в Швейцарию, где занял престижный пост директора Физического института при Федеральном технологическом институте, являясь также профессором физики Цюрихского университета. В течение следующих нескольких лет он внес фундаментальный вклад в изучение сильных электролитов, веществ, которые распадаются в растворах на положительные и отрицательные ионы. Созданная им совместно с Эрихом Хюккелем теория, опубликованная в 1923 г. (теория Дебая – Хюккеля), позволяет математически точно рассчитать ионную силу растворов сильных электролитов. В том же 1923 г. Дебаем была разработана теория комптоновского эффекта (названного в честь Артура Х. Комптона), обеспечивающая дополнительное доказательство волново-корпускулярной природы света. Между 1927 и 1934 гг. Дебай в Лейпцигском университете изучал дифракцию рентгеновских лучей при измерении межатомных расстояний в газах и продолжал исследования дипольной теории и электролитов. Затем он перешел в Берлинский университет, где под его контролем создавался Институт физики кайзера Вильгельма (ныне Институт Макса Планка). Здесь он использовал электролиты в дифракционных работах с газами. В 1936 г. Дебай был награжден Нобелевской премией по химии «за вклад в наше понимание молекулярной структуры в ходе исследований дипольных явлений и дифракции рентгеновских лучей и электронов в газах». К теоретической значимости его открытий позднее добавились работы, с помощью которых были существенно улучшены методы производства взрывчатых веществ, лекарственных препаратов, красителей и других химических реагентов. Хотя ему были даны гарантии, что он, являясь гражданином Нидерландов, может работать в Берлине, в 1939 г. Дебай был уволен из лаборатории по причине отсутствия немецкого гражданства. Возмущенный этим решением, Дебай поехал читать Бейкеровские лекции в Корнеллский университет в Итаку (штат Нью-Йорк), и остался там, вскоре став деканом химического факультета. В результате его работ в Корнеллском университете и лабораториях компании «Белл» были разработаны новые способы расчета размеров молекул сложных полимеров. В 1946 г. Дебай получил американское гражданство. В 1952 г. он подал в отставку в Корнеллском университете, где ему присудили звание почетного профессора. Но и после этого он продолжал свои исследования с полимерами. Кроме чтения лекций, он в 1960 г. уделял много времени организации Научно-технологического института при Мичиганском университете. В 1914 г. Дебай женился на Матильде Альберер, с которой воспитал сына и дочь. Его студенты и коллеги знали, как дружелюбно и внимательно он относился ко всем, ценили его как прекрасного лектора. В свободное время Дебай увлекался рыбалкой. Он умер 2 ноября 1966 г. в Итаке от сердечного приступа. Кроме Нобелевской премии, Дебай был удостоен многих наград и премий. Ему были вручены медаль Румфорда. Лондонского королевского общества (1930), медаль Х. Лоренца. Королевской академии наук и искусств Нидерландов (1935), медаль Франклина Франклиновского института (1937), медаль Дж. Уилларда Гиббса (1949) и медаль Дж. Пристли Американского химического общества (1963). Ему также были присуждены почетные ученые степени Гарвардского университета, Бруклинского политехнического института, Университета св. Лаврентия, Колгейтского университета, Федерального цюрихского технологического института, Бостонского колледжа, Оксфордского университета и университетов Брюсселя, Льежа и Софии. Он был членом Лондонского королевского общества, Американского физического общества, Американского химического общества, Американского философского общества, Франклиновского института, Королевской академии наук и искусств Нидерландов, Брюссельского научного общества, Академий наук Гёттингена, Мюнхена, Берлина, Бостона и Вашингтона. Был иностранным членом АН СССР.   
 

             
 
 
 
 

Заключение

      Итак, теория теплоемкости А. Эйнштейна была уточнена Дебаем.  Эйнштейн считал, что атомы в узлах кристаллической решетки колеблются независимо друг от друга и частота колебаний одинакова. П. Дебай учел, что атомы в твердом теле связаны между собой и что все они не могут колебаться с одинаковой частотой. Согласно теории П. Дебая, температура, при которой начинается уменьшение теплоемкости, можно определить из условия равенства тепловой энергии приходящейся на одну степень свободы, максимальной энергии колебания атома. Эту температуру называют характеристической Дебая и обозначают буквой θ. Дебай Также доказал, что при температурах, близких к абсолютному нулю, молярная теплоемкость пропорциональна кубу температуры. Такая зависимость наблюдается при температурах, меньше  θ/50. Эту закономерность называют законом кубов Дебая. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы

1. Бушманов  Б.Н., Хромов Ю.А. Физики твёрдого  тела. - М.,1971г.

2. Детлаф  А.А.Курс физики. - М.,1973г.

3. Даниленко  В.М. Что такое твёрдое тело? - Киев,1983г.

4. Китайгородский  А.И. и Федин Э.И. Атомное  строение и свойства      твёрдых тел. - М.,1963г.