Параметры вырождения

§ 3. Параметр вырождения

 

 

В видимой области электромагнитного спектра по распределению числа фотоотсчетов в большинстве случаев очень трудно определить тип излучения. Основным критерием различимости этих двух типов излучения, является параметр вырождения.

 

В п. А мы рассмотрим флуктуации числа фотоотсчетов в случае, когда  на фоточувствительную поверхность  падает свет разного типа. В результате мы придем к определению параметра вырождения.

 

 В п. Б этот параметр  рассматривается в частном случае излучения абсолютно черного тела.

 

А. Флуктуации числа фотоотсчетов

(мы рассмотрим флуктуации числа фотоотсчетов в случае, когда на фоточувствительную поверхность падает свет разного типа. В результате мы придем к определению параметра вырождения)

 

Рассмотрим дисперсию  числа фотоотсчетов в случае теплового  излучения и условия, при которых она заметно отличается от дисперсии в случае излучения стабилизированного одномодового лазера. Сначала укажем на прямую связь между дисперсией числа фотоотсчетов и дисперсией классических флуктуаций интенсивности света, падающего на фоточувствительную поверхность.

Чтобы вычислить дисперсию  флуктуаций числа фотоотсчетов, мы должны сначала найти второй момент числа фотоотсчетов К² Заметим, что при условии известной интегральной интенсивности W число фотоотсчетов К есть пуассоновская переменная со средним значением aW. Поэтому условный второй момент переменной К определяется следующим образом:

 

Заметим, что при выводе выражения (9.3.3) не было необходимости делать какие-либо предположения относительно распределения классических флуктуаций интегральной интенсивности. Результат носит совершенно общий характер, т. е. справедлив при любом типе излучения, падающего на чувствительную поверхность фотоприемника. Более того, оба слагаемых этого выражения имеют простой физический смысл. Первый член К - просто дисперсия числа фотоимпульсов, которая должна была бы наблюдаться, если бы классическая интенсивность была постоянной и число фотоотсчетов было чисто пуассоновской переменной. Назовем этот вклад в флуктуации числа фотоотсчетов «дробовым шумом» по аналогии с распределенным по Пуассону дробовым шумом, наблюдаемым, например, в вакуумном диоде [9.12]. Второй член в отсутствие флуктуаций классической интенсивности, очевидно, равен нулю. Следовательно, эта составляющая дисперсии числа фотоотсчетов обусловлена флуктуациями классической интенсивности. В случае излучения стабилизированного одномодового лазера эта составляющая была бы тождественно равна нулю, а дисперсия числа фотоотсчетов просто соответствовала бы распределению Пуассона. Если на фоточувствительную поверхность падает тепловое излучение, то классические флуктуации не равны нулю и дисперсия числа фотоотсчетов оказывается больше, чем соответствующая распределению Пуассона, на величину, пропорциональную дисперсии интегральной интенсивности. Эта дополнительная составляющая дисперсии числа фотоотсчетов часто называется «избыточным шумом»; такое название указывает на то, что эта часть шума добавляется к чисто пуассоновским флуктуациям.

 

 

 

Физически параметр вырождения можно интерпретировать как среднее  число фотоотсчетов за один интервал когерентности падающего излучения. Его можно также рассматривать как среднее число фотоотсчетов на «степень свободы» или на «моду» падающей волны. Если б_с 1, то с большой вероятностью число фотоотсчетов за один интервал когерентности волны будет не более единицы. Это означает, что дробовой шум преобладает над классическим шумом. Если же 6_С 1, то в каждом интервале когерентности волны будет много фотособытий. Происходит «сгущение» фотособытий из-за классических флуктуаций интенсивности и увеличение дисперсии числа фотоотсчетов до такой степени, что классические флуктуации становятся значительно более сильными, чем флуктуации типа дробового шума.

Поскольку параметр вырождения фотоотсчетов пропорционален К, он пропорционален и квантовому выходу фоточувствительной поверхности. Иногда целесообразно исключить эту зависимость от данной характеристики конкретного фотоприемника и иметь дело с параметром вырождения, который был бы характеристикой только самого падающего поля. Поэтому мы введем волновой параметр вырождения

(9.3.8)

Этот новый параметр вырождения может рассматриваться как параметр вырождения числа фотоотсчетов, который  получился бы в случае идеального фотоприемника с квантовым выходом, равным единице.

Распределение числа фотоотсчетов, полученное в случае поляризованного теплового излучения, определяется комбинацией параметров К и б_с, как это можно видеть, переписав биномиальное распределение с отрицательным показателем (9.2.24) в форме

 

 

Докажем теперь одно очень  важное положение. Когда параметр вырождения числа фотоотсчетов приближается к нулю, распределение числа фотоотсчетов Р(К), которое представляет собой биномиальное распределение с отрицательным показателем, становится неотличимым от пуассоновского распределения. Для доказательства этого утверждения необходимы некоторые приближения. Во-первых, если параметр вырождения намного меньше единицы, для гамма-функций в выражении (9.3.9) справедливо приближение Стирлинга [9.13]

 

где мы в явной форме  учли, что К/б_С равно М, числу степеней свободы. И наконец, сделаем еще одно приближение. Заметим, что* если среднее число фотоотсчетов за интервал когерентности б_С мало, с большой вероятностью действительное число К/М фотособытий за один интервал когерентности также мало. Отсюда следует, что

 

 

Чтобы подчеркнуть важность только что полученного результата, сформулируем его еще раз словами.

В случае поляризованного теплового излучения при параметре вырождения фотоотсчетов, стремящемся к нулю, распределение числа фотоотсчетов стремится к распределению Пуассона.

Физический смысл этого  результата состоит в следующем. Если параметр вырождения фотоотсчетов намного меньше 1, то число фотоотсчетов в каждом отдельном интервале  когерентности падающей классической волны с большой вероятностью будет равно либо нулю, либо единице. В таком случае флуктуации классической интенсивности практически не вызывают «сгущения» фотособытий, так как интенсивность света (с высокой степенью вероятности) недостаточна для того, чтобы вызвать многократные фотособытия в одной ячейке когерентности. Если «сгущением» фотособытий можно пренебречь, то распределение числа фотоотсчетов будет неотличимым от распределения в случае излучения стабилизированного одномодового лазера, в котором «сгущение» отсутствует.

Мы предполагали, что падающий свет поляризован, но аналогичный результат справедлив и в случае частично поляризованного теплового излучения при условии, что независимые интенсивности поляризационных компонент, получаемых при прохождении света через поляризатор, который диагонализирует матрицу когерентности, характеризуются малыми параметрами вырождения.

Значение этого результата не может быть полностью оценено до тех пор, пока мы не познакомимся с типичными параметрами вырождения, которые могут встречаться на практике. Они очень сильно различаются в СВЧ-диапазоне и в видимом диапазоне электромагнитного спектра, как мы сейчас покажем.

 

Б. Параметр вырождения для излучения

абсолютно черного тела

В статистической физике и  термодинамике обычно вводят идеализированное понятие абсолютно черного тела. Абсолютно черное тело — это объект, который полностью поглощает всю падающую на него энергию излучения. Если такое тело находится в равновесии со своим окружением, то, кроме того, что оно является совершенным поглотителем, оно должно быть также и совершенным излучателем. Оно должно излучать столько же энергии, сколько и поглощает, иначе оно не могло бы оставаться в тепловом равновесии. Идеализированное представление об абсолютно черном теле облегчает вычисления (зависящего от температуры) спектрального распределения такого излучения. Многие излучатели, встречающиеся на практике, могут рассматриваться как абсолютно черные тела или как приблизительно черные тела. Например, общая форма спектра солнечного излучения приблизительно соответствует спектру абсолютно черного тела с температурой 6000 К.

Вычислением спектрального  распределения энергии, излучаемой абсолютно черным телом, занимались многие физики XIX в. Наиболее известны исследования Рэлея и Джина, которые вывели спектральное распределение излучения абсолютно черного тела из классического закона равнораспределения энергии по степеням свободы. Они установили, что полученные таким путем выводы согласуются с экспериментом только в длинноволновом пределе и что в коротковолновом пределе результаты приводят к знаменитой «ультрафиолетовой катастрофе»— спектральному распределению, плотность которого неограниченно возрастает при стремлении длины волны к нулю.

Трудности, связанные с  излучением абсолютно черного тела, были разрешены только после введения гипотезы, которая заметно отступила от принципов классической физики. В 1900 г. Планк опубликовал новый вывод закона излучения абсолютно черного тела, который был основан на существенном предположении о том, что энергия может излучаться и поглощаться только в виде дискретных порций или квантов. Закон, предсказываемый этой теорией, находился в согласии со всеми экспериментальными результатами, известными в то время. С появлением этой работы родилась квантовая теория излучения.

Теория излучения абсолютно  черного тела, предложенная Планком, существенна для нас тем, что  позволяет весьма конкретно предсказать параметр вырождения для теплового излучения в разных частях электромагнитного спектра. Чтобы использовать результаты теории Планка, мы должны рассматривать каждую степень свободы падающего излучения как аналог гармонического осциллятора. Такую картину можно получить в явном виде, применяя теорему выборки¹) для частотного представления ограниченного во времени сигнала, поступающего на фотоприемник в рассматриваемой нами задаче. Число степеней свободы сигнала одно и то же независимо от того, рассматриваются ли временные или частотные выборки. Действительно, энергию, падающую на фоточувствительную поверхность, можно рассматривать как сумму энергий, приходящихся либо на временную, либо на частотную выборку; обе суммы приводят к одному и тому же результату.

Энергии, связанные с каждым из таких осцилляторов, предполагаются квантованными с допустимыми дискретными значениями

 

 

Эта теорема в зарубежной литературе называется теоремой Уитте- кера — Шеннона (1949 г.). В советской литературе эта теорема известна как теорема В. А. Котельннкова (1933 г.). — Прим. перев. 

Волновой параметр вырождения представляет собой просто среднее  число фотонов на моду. Это как  раз та величина, которая представлена выражением (9.3.18). Если рассматриваемое излучение имеет узкополосный спектр, то частоту v в этом выражении можно заменить частотой v, соответствующей центру спектра.

Рис. 9.3. Контуры постоянного волнового параметра вырождения как функции температуры источника и длины волны.

 

Следовательно, параметр вырождения для излучения абсолютно черного тела от узкополосного источника в термодинамическом равновесии принимает вид

 

 

метра вырождения в плоскости  двух координат: средней длины волны  и температуры источника. Здесь  четко видно, что в

СВЧ-области спектра (10^-1 м) при любой температуре источника, превышающей доли Кельвина, волновой параметр вырождения намного больше единицы. Поэтому в данной области спектра вклад классических флуктуаций числа фотоотсчетов должен быть намного больше вклада флуктуаций, связанных с чисто дробовым шумом. В видимой же области спектра (5* 10^-7 м), чтобы волновой параметр вырождения был больше единицы, требуются температуры источника, превышающие 20000К. Поскольку Солнце имеет эффективную температуру абсолютно черного тела, составляющую только 6000 К, мы делаем вывод, что в видимой области спектра огромное число встречающихся источников создают излучение с малым волновым параметром вырождения, и поэтому шум, обусловленный квантовой природой излучения, оказывается значительно большим, чем шум, создаваемый классическими флуктуациями интенсивности.

В заключение данного пункта отметим следующее. Мы рассматривали волновой параметр вырождения, который является характеристикой излучения, падающего на фотоприемник. Квантовый выход последнего меньше единицы. Следовательно, параметр вырождения фотоотсчетов будет меньше волнового параметра вырождения, и в видимой области спектра вероятность встретиться с подлинно тепловым излучением, для которого классические флуктуации интенсивности доминировали бы в распределении числа фотоотсчетов, оказывается еще меньше. (Правда, квазитепловые источники могут создавать излучение с очень большим параметром вырождения, и в таких случаях классические флуктуации интенсивности могут доминировать в флуктуациях числа фотоотсчетов.) Кроме того, фотоприемник или коллекторная оптика могут охватывать только часть одной пространственной моды источника. (Практически в интервале измерения всегда охватывается очень много временных мод.) В таком случае параметр вырождения фотоотсчетов может снова стать меньше волнового параметра вырождения в результате неполного охвата пространственной моды. Хотя минимальное значение параметра Ж равно единице, нужно учесть уменьшение энергии, достигающей фоточувствительной поверхности. Для этого нормальное значение параметра вырождения фотоотсчетов нужно дополнить множителем, равным отношению эффективной площади измерения к площади когерентности падающего света.