Определение модуля Юнга при испытании стержня на изгиб

ГОУ ВПО  «Ижевский государственный технический университет»

Приборостроительный факультет

кафедра «электротехники».

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Лабораторная  работа № 9 

Определение модуля Юнга при испытании  стержня на изгиб. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил:

Студент группы 1-83-1 :             Кирилин Д.А. 

Проверил:                 Калугин А. И. 
 
 
 
 
 
 

Ижевск 2010

     Определение модуля Юнга при испытании стержня  на изгиб. 

   Цель  работы: проверить закон Гука, определить модуль Юнга 

Установка и принадлежности: установка, предназначенная для  определения модуля Юнга, масштабная линейка, штангенциркуль, набор грузов (5 шт. m₁=m₂=m₃=m₄=m₅=1±0.05кг). 
 

Краткая теория. 

      Под действием приложенной силы происходит деформация тел. Деформацией называется изменение размеров и формы тела. Если после прекращения действия внешних сил восстанавливаются прежние форма и размеры тела, то деформация называется упругой. Если деформация сохраняется и после снятия силы, то она называется пластической или остаточной.

      Среди множества различных деформация следует отметить две простейшие: деформацию растяжения (сжатия) и деформацию сдвига. Все остальные виды деформаций имеют более или менее сложный характер. В случае, если деформации достаточно малы, то можно любую деформацию рассматривать как сумму некоторых растяжений и сдвигов.

     Деформация  растяжения возникает, когда к поверхности тела приложена сила . Если тело имело форму куба, то в результате действия силы оно приобретает форму прямоугольного параллелепипеда. Длина вертикального ребра тела возрастает от l₀ до l₁. Величину

                    (1)

называют  нормальной деформацией или нормальным удлинением.

      Если  к телу приложить силу, направленную параллельно плоскости  , то возникает деформация сдвига. Пусть до деформации угол между рёбрами AB и AC был равен 90º. В результате деформации этот угол измениться на величину α. Величина называется деформацией сдвига или относительным сдвигом.

      Величина  силы, отнесённая к единице поверхности, на которую она действует, называется напряжением. Если сила направлена перпендикулярно к поверхности, то создаваемое ею напряжение называется нормальным:

        .            (2)

Если  сила направлена параллельно поверхности, то создаваемое этой силой напряжение называется тангенциальным или сдвиговым. Нормальные напряжения приводят к деформациям растяжения или сжатия, тангенциальные – к сдвиговым деформациям.

      Опыт приводит к заключению, что при деформации растяжения удлинение Δl прямо пропорционально растягивающей силе , длине образца l₀ и обратно пропорционально площади поперечного сечения :

                    (3)

      Зависимость (3) можно представить в ином виде. Разделим обе части этой формулы  на первоначальную длину стержня  l₀: . Подставив в эту формулу вместо величину ε, а вместо – величину нормального напряжения σ, получим:

              .           (4)

Отношение (4) называют законом Гука по имени  учёного, впервые открывшего этот закон пропорциональности в 1660 году.

      В выражении (4) E – нормальный модуль упругости (модуль Юнга), который определяется только свойствами материала. Модуль Юнга характеризует силы связи атомов в кристаллической решётке. Физический модуль E характеризует сопротивление материала упругой деформации при растяжении (сжатии) и численно равен такому нормальному напряжению, при котором относительно удлинение ε было бы равно единице (то есть приращение длины Δl равнялось бы первоначальной длине l₀).

      В случае действия тангенциальных напряжений закон Гука записывается так:

        _,             (5)

где – модуль сдвига.

      Линейная  зависимость между деформацией  и напряжением наблюдается лишь при малых деформациях (для металлов – меньше 1%). При достаточно высоких напряжениях линейная зависимость нарушается. Деформация становится пластической или остаточной, поскольку после снижения напряжения до нуля деформация тел остаётся отличной от нуля. Минимальное напряжение, при котором начинает развиваться пластическая деформация, носит название предела упругости (σ_упр). Таким образом закон Гука выполняется только для упругих деформаций, при напряжениях меньше σ_упр. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Методика  проведения эксперимента.

     

Установка, предназначенная для  определения модуля Юнга, представляет собой консольно  закреплённый стержень 1 прямоугольного сечения (рис.1) . На свободном конце стержня располагается подвеска 2, на которую навешиваются грузы 3. Прогиб стержня измеряется стрелочным  индикатором 4. Для измерения размеров стержня используется масштабная линейка и штангенциркуль.

Рассмотрим  прямой упругий стержень, закреплённый на одном конце, и к другому  концу стержня приложим силу . Такой стержень называют консольно закреплённым. Нагруженный конец опустится, то есть стержень согнётся. При таком изгибе верхние слои стержня будут растягиваться, нижние – сжиматься, а некоторый слой, который называется нейтральным слоем, сохранит свою длину и только претерпит искривление. Перемещение λ, которое получат участки стержня в вертикальной плоскости (вдоль оси ), называется стрелой прогиба. Стрела прогиба стержня зависит от величины действующей на него нагрузки , материала, из которого изготовлен стержень (модуля Юнга E), геометрических размеров стержня. На этой зависимости основано экспериментальное определение модуля Юнга.

      В данной работе для определения E применяется стержень, ширина которого пропорционально уменьшается с увеличением расстояние от места закрепления. Такой стержень называют стержнем равного сопротивления, так как величина напряжений в любом поперечном сечении стержня оказывается одинаковой. Для стержня равного сопротивление зависимость стрелы прогиба от выражается формулой

             ,             (6)

из которой  следует, что стрела прогиба является функцией нагрузки , то есть .

      Из (6) для модуля Юнга получим выражение

        ,             (7)

где λ  – стрела прогиба стержня на расстоянии x от места закрепления стержня; P – величина действующей нагрузки; b – толщина стержня; l – расстояние от точки закрепления стержня до точки приложения силы P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Порядок выполнения работы. 

      1. Масштабной линейкой измерить расстояние l от места закрепления стержня до подвески, расстояние x от места закрепления стержня до места, где стрелочный индикатор касается стержня.

      2. Штангенциркулем измерить ширину  a₀ в месте закрепления стержня и толщину b стержня в том месте где его касается стрелочный индикатор.

      3. Установить стрелочный индикатор  так, чтобы маленькая стрелка  стояла на цифре «0». Поворотом  шкалы индикатора большую стрелку  устанавливают на цифре «0».

      4. Навесить на подвеску груз  массой 1 кг и по шкале индикатора определить λ – стрелу прогиба.

      5. Выполнить ту же операцию для  грузов 2, 3, 4 и 5.

      6. Проделать всё, что указано  п.п. 4 и 5, но при последовательном  уменьшении массы грузов.

      7. Построить график зависимости  для последовательного увеличения и уменьшения грузов.

      8. При построении графика зависимости  λ и P аппроксимировать прямой линией. Тангенс угла наклона линии к оси ординат:   называется коэффициентом жёсткости стержня на изгиб.

      9. Вычислить модуль Юнга по формуле , где k – коэффициент жёсткости.

      10. Оценить погрешность измерений  ΔE:

; где Δx, Δl, Δa, Δb – приборные погрешности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Данные, полученные в ходе эксперимента: 

l = 0,45 м – расстояние от места закрепления стержня до подвески;

x = 0,367 м – расстояние от места закрепления стержня до стрелочного индикатора;

b = 0,01 м – толщина стержня в месте касания его стрелочного индикатора;

a₀ = 0,049 м – ширина в месте закрепления стрежня. 
 

№ опыта	m, кг	P, Н	λ, м (при нагрузке)	λ, м (при разгрузке)
1	1	9,81	0,00036	0,00038
2	2	19,62	0,00072	0,00075
3	3	29,43	0,001085	0,00110
4	4	39,24	0,001465	0,00145
5	5	49,05	0,001830	0,00185

 
 

     Постоянные  используемые для вычислений:

t_α = 2.1 – коэффициент Стьюдента для случайных ошибок с надёжностью до 0,9;

t_ch = 2.3 – коэффициент Чебышева для систематических ошибок.

g = 9.8 – ускорение свободного пдения. 
 

     Приборные погрешности:

Δλ = 0,005 мм = 0,000005 м;

Δx = 0,5 мм = 0,0005 м;

Δl = 0,5 мм = 0,0005 м;

Δa₀ = 0,05 мм = 0,00005 м;

Δb = 0,05 мм = 0,00005 м. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Определим средние значения стрелы прогиба:

м

м

м

м

м 
 

     Вычислим  случайные погрешности:

м

м

м

м

м 
 

     Вычислим  полные погрешности:

 м

 м

 м

 м

 м 
 
 

     λ₁ = 0,00037 ± 0,00001 м = 0,37 ± 0,01 мм;

     λ₂ = 0,000735 ± 0,000015 м = 0,735 ± 0,015 мм;

     λ₃ = 0,001093 ± 0,000008 м = 1,093 ± 0,008 мм;

     λ₄ = 0,001458 ± 0,000008 м = 1,458 ± 0,008 мм;

     λ₅ = 0,00184 ± 0,00001 м = 1,84 ± 0,001 мм.

     Определим среднее значение коэффициента жёсткости стержня:

Н;

Н;

Н;

Н;

Н; 

 
 

     Вычислим  случайную погрешность:

___________________________________________________________

 
 

     Вычислим  полную погрешность: